บล็อก | พศิน มรุปัณฑ์ธร | นักวิจัยเชิงปริมาณ

ความเสี่ยงที่หาง (Tail Dependence)

Sat, 12 Apr 2025 00:00:00 +0000

📉 Tail Dependence – เมื่อเกิดวิกฤต ความสัมพันธ์เชิงเส้นล้มเหลว แล้วเราจะทำอย่างไร?

🎯 หากคุณเป็นหนึ่งในผู้ที่สามารถรอดพ้นจากความผันผวนของตลาดหุ้นสหรัฐฯ และสินทรัพย์ดิจิทัลในสัปดาห์ที่ผ่านมา — บทความนี้คือสิ่งที่คุณควรอ่านต่อ

บทความนี้นำเสนอแนวคิดเรื่อง Tail Dependence หรือ “ความสัมพันธ์ในหางของการแจกแจงร่วม” ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญในเชิงสถิติและการวิเคราะห์ความเสี่ยงเชิงปริมาณ (Quantitative Risk Analysis)

📆 เหตุการณ์สำคัญในตลาดหุ้นสหรัฐฯ สัปดาห์ที่ผ่านมา

ในวันที่ 3 เมษายน 2025 ตลาดหุ้นสหรัฐฯ เผชิญกับความผันผวนอย่างรุนแรง:

ดัชนี S&P 500ลดลงกว่า4.84%- ดัชนีNASDAQลดลงกว่า5.97%ต่อมาในวันที่ 9 เมษายน 2025 ประธานาธิบดีโดนัลด์ ทรัมป์ได้ประกาศชะลอการขึ้นภาษีเพิ่มเติม (ยกเว้นกับจีน)
ส่งผลให้ตลาดพลิกกลับอย่างรุนแรง:
S&P 500ฟื้นตัวขึ้น9.5%-NASDAQเพิ่มขึ้นถึง12.2% ภายในวันเดียว

🔄 ความสัมพันธ์ของสินทรัพย์เปลี่ยนไปอย่างไร?

โดยทั่วไป นักลงทุนมักเข้าใจว่า:

หากสินทรัพย์สองรายการมีค่า Pearson Correlation ต่ำ พอร์ตการลงทุนจะมีความเสี่ยงรวมลดลง

อย่างไรก็ตาม เหตุการณ์ “Trump Tariff 2025” แสดงให้เห็นว่า
ความสัมพันธ์เชิงเส้นที่วัดในช่วงปกติอาจล้มเหลว ในช่วงวิกฤต

📌 ตัวอย่าง: จาก รูปที่ 1

ผลตอบแทนรายวันของ IBMและMSFT โดยปกติมี Pearson correlation ~0.2
แต่ในช่วงเกิดเหตุการณ์ Tariff — ค่า correlation พุ่งขึ้นถึง 0.8
👉 สะท้อนว่าพอร์ตที่ดู “diversified” กลับประสบความเสียหายพร้อมกัน

##❗ นิยามของ Tail Dependence

ในโลกของ Math-Stat-Quant ความสัมพันธ์ไม่ได้จำกัดเพียง Pearson Correlation
เครื่องมืออื่น ๆ ที่ถูกใช้ได้แก่: Kendall’s Tau, Concordance, Directional Dependence และ Tail Dependence

Tail Dependence วัดว่า:

“เมื่อหนึ่งในตัวแปรร่วงหนัก (หรือพุ่งแรง) อีกตัวจะตามไปหรือไม่?”

เช่น หากตลาดหุ้นร่วงแรงในหางซ้ายของการแจกแจง Tail Dependence ช่วยวิเคราะห์ว่าสินทรัพย์อื่นจะมีแนวโน้มร่วงตามหรือไม่

ประเภทของ Tail Dependence:

Lower Tail Dependence: วัดโอกาสที่สินทรัพย์จะร่วงพร้อมกัน
Upper Tail Dependence: วัดโอกาสที่สินทรัพย์จะพุ่งแรงพร้อมกัน

🧪 ตัวอย่างจากข้อมูลจริง

ข้อมูลระหว่าง IBMและMSFT สะท้อนลักษณะของ Tail Dependence อย่างชัดเจน

ในภาวะปกติ ค่า correlation อยู่ในระดับต่ำ (~0.2)
แต่ในช่วงที่ตลาดตกหนักและฟื้นตัวแรง ทั้งสองสินทรัพย์มีพฤติกรรมเหมือนกัน

📌 จาก รูปที่ 1 Panel 3:

ความถี่ของจุดใน มุมล่างซ้ายแสดงถึงLower Tail Dependence- ความถี่ของจุดในมุมขวาบนแสดงถึงUpper Tail Dependence

แม้ในช่วงกุมภาพันธ์–เมษายน 2025 จะมี Tail Dependence ไม่มาก
แต่หากพิจารณา ข้อมูลย้อนหลังตั้งแต่ปี 2000 (รูปที่ 2 Panel 3)
พบว่าแม้ correlation โดยรวมจะต่ำแต่มีUpper Tail Dependence ที่สังเกตได้ชัด
👉 เวลาขึ้นแรงมักไปด้วยกัน แต่เวลาลงแรงอาจไม่ลงพร้อมกัน

🛠️ การประยุกต์ใช้ Tail Dependence

📊 การบริหารพอร์ตการลงทุน (Portfolio Risk Management)

ใช้เพื่อประเมินว่า สินทรัพย์ที่ดูแตกต่างกัน จะพังพร้อมกันในช่วงวิกฤตหรือไม่
ตัวอย่าง: หุ้นพลังงานและหุ้นเทคโนโลยี แม้ดูไม่สัมพันธ์กัน แต่เมื่อเกิด shock ระดับมหภาค เช่น COVID-19 หรือ Trump Tariff — ทั้งคู่ร่วงพร้อมกัน

🏦 การบริหารเงินทุนของสถาบันการเงิน (Capital Management)

Tail Dependence ถูกใช้ในการประเมิน Value-at-Risk (VaR)และExpected Shortfall ให้แม่นยำขึ้น
โดยเฉพาะกับพอร์ตสินทรัพย์ที่มีพฤติกรรมร่วมที่ไม่เป็นเชิงเส้น

🧠 การคำนวณ Tail Dependence

Tail Dependence สามารถนิยามได้สองรูปแบบที่สำคัญ:

นิยามผ่าน Copula Function2.นิยามผ่าน Conditional Probability (แบบ intuitive สำหรับการตีความ)

ทั้งสองแนวทางให้ความเข้าใจลึกซึ้งเกี่ยวกับ โครงสร้างความสัมพันธ์เชิงสุดขั้ว (extreme dependence structure) ระหว่างตัวแปรสุ่ม

🟥 1. Lower Tail Dependence (λ_L)

วัดความน่าจะเป็นที่ $ X $ และ $ Y $ จะ ลดลงอย่างรุนแรงพร้อมกัน

\[ \lambda_L = \lim_{u \to 0^+} \mathbb{P}\left( Y \leq F_Y^{-1}(u) \,\middle|\, X \leq F_X^{-1}(u) \right) \]

🔍 คำอธิบายตัวแปร:

สัญลักษณ์	ความหมาย
$ X, Y $	ตัวแปรสุ่มสองตัว เช่น ผลตอบแทนของสินทรัพย์
$ F_X, F_Y $	ฟังก์ชันสะสมความน่าจะเป็น (CDF) ของแต่ละตัวแปร
$ F_X^{-1}(u), F_Y^{-1}(u) $	ค่าควอนไทล์ที่ระดับ $ u $ เช่น ค่าที่ต่ำกว่าร้อยละ $ u $ ของข้อมูล
$ u \to 0^+ $	มองที่ค่าต่ำมาก (บริเวณหางซ้ายของการแจกแจง) เช่น $ u = 0.01 $ หรือ $ 0.001 $

✨ ใช้เพื่อดูว่า

“ถ้า $ X $ ร่วงหนักมากๆ แล้ว $ Y $ จะมีแนวโน้มร่วงตามหรือไม่?”

🟩 2. Upper Tail Dependence (λ_U)

วัดความน่าจะเป็นที่ $ X $ และ $ Y $ จะ พุ่งขึ้นแรงพร้อมกัน

\[ \lambda_U = \lim_{u \to 1^-} \mathbb{P}\left( Y > F_Y^{-1}(u) \,\middle|\, X > F_X^{-1}(u) \right) \]

🔍 คำอธิบายตัวแปร:

สัญลักษณ์	ความหมาย
$ u \to 1^- $	มองที่ค่าที่สูงมาก (บริเวณหางขวาของการแจกแจง) เช่น $ u = 0.99 $ หรือ $ 0.999 $
ตัวแปรอื่น ๆ	เหมือนกับนิยามใน $ \lambda_L $

✨ ใช้เพื่อดูว่า

“ถ้า $ X $ พุ่งขึ้นแรงมากๆ แล้ว $ Y $ จะพุ่งขึ้นตามหรือไม่?”

🔄 สรุปเปรียบเทียบสองนิยาม:

นิยาม	สูตร (แบบ Copula)	สูตร (แบบ Conditional Prob.)
Lower Tail (λ_L)	$ \lambda_L = \lim_{u \to 0^+} \frac{C(u,u)}{u} $	$ \lambda_L = \lim_{u \to 0^+} \mathbb{P}(Y \leq F_Y^{-1}(u) \mid X \leq F_X^{-1}(u)) $
Upper Tail (λ_U)	$ \lambda_U = \lim_{u \to 1^-} \frac{1 - 2u + C(u,u)}{1 - u} $	$ \lambda_U = \lim_{u \to 1^-} \mathbb{P}(Y > F_Y^{-1}(u) \mid X > F_X^{-1}(u)) $

📌 ทั้งสองนิยามให้ผลลัพธ์เทียบเคียงกันได้ในเชิงพฤติกรรม Tail Risk
แต่แบบที่สอง (Conditional Probability) ตีความง่ายกว่า และเหมาะกับการอธิบายเชิงประยุกต์ในเชิงพอร์ตและระบบการเงิน

🧠 การคำนวณ Tail Dependence จากข้อมูลจริง (Empirical Estimation)

Tail Dependence คือความสัมพันธ์ของตัวแปรสุ่มในช่วง “หางของการแจกแจง” เช่น เหตุการณ์สุดขั้วในตลาด
เราสามารถคำนวณจากข้อมูลจริงโดยไม่ต้องสมมติฟังก์ชันการแจกแจงล่วงหน้า ด้วยวิธี Empirical (Nonparametric)

✅ Input:

ข้อมูลผลตอบแทนรายวันของสินทรัพย์สองตัว เช่น หุ้น IBM และ MSFT
ข้อมูลควรจัดเรียงตามเวลา และมีจำนวนข้อมูลมากพอ (เช่น 500 จุดขึ้นไป)

🔢 Step-by-step:

🔹 Step 1: เตรียมข้อมูล

สร้างเวกเตอร์ผลตอบแทนรายวัน: \[ R_X = [r_{X,1}, \dots, r_{X,n}], \quad R_Y = [r_{Y,1}, \dots, r_{Y,n}] \]
ตรวจสอบให้ข้อมูลเรียงวันตรงกัน (time-aligned)

🔹 Step 2: แปลงข้อมูลเป็นค่าควอนไทล์ (Empirical Quantiles)

แปลงค่าผลตอบแทนเป็นตำแหน่งในข้อมูล (rank) แล้วหารด้วย $ n+1 $:

\[ U_i = \frac{\text{rank}(R_{X,i})}{n + 1}, \quad V_i = \frac{\text{rank}(R_{Y,i})}{n + 1} \]

ผลลัพธ์คือ $ U_i, V_i \in (0,1) $ อยู่ในรูปของ อันดับสัมพัทธ์ ของแต่ละจุดข้อมูล

🟥 Step 3: คำนวณ Lower Tail Dependence $ \hat{\lambda}_L(u) $

เลือกค่า $ u $ ที่แสดงถึงหาง เช่น $ u = 0.05 $

\[ \hat{\lambda}_L(u) = \frac{ \#\{ i : U_i \leq u \,\land\, V_i \leq u \} }{ \#\{ i : U_i \leq u \} } \]

หมายถึงความน่าจะเป็นที่ $ Y $ จะตกแรง เมื่อ $ X $ ตกแรงเช่นกัน

🟩 Step 4: คำนวณ Upper Tail Dependence $ \hat{\lambda}_U(u) $

เลือกค่า $ u = 0.95 $ เพื่อดูพฤติกรรมด้านขวาของหาง

\[ \hat{\lambda}_U(u) = \frac{ \#\{ i : U_i > u \,\land\, V_i > u \} }{ \#\{ i : U_i > u \} } \]

หมายถึงความน่าจะเป็นที่ $ Y $ จะพุ่งแรง เมื่อ $ X $ พุ่งแรงเช่นกัน

🔍 คำอธิบายตัวแปร:

สัญลักษณ์	ความหมาย
$ U_i, V_i $	ค่าควอนไทล์แบบ empirical ของ $ R_X $ และ $ R_Y $
$ u $	ค่าคัดกรองหาง เช่น 0.05 (5%) หรือ 0.01 (1%)
$ \#\{ \cdot \} $	จำนวนข้อมูลที่เข้าเงื่อนไข

🖥️ ตัวอย่างโค้ด Python (Empirical Estimation)

import numpy as np
from scipy.stats import rankdata

def empirical_tail_dependence(x, y, u=0.05):
 n = len(x)
 ux = rankdata(x) / (n + 1)
 uy = rankdata(y) / (n + 1)

 lower = np.sum((ux <= u) & (uy <= u)) / np.sum(ux <= u)
 upper = np.sum((ux > 1 - u) & (uy > 1 - u)) / np.sum(ux > 1 - u)

 return lower, upper

โคปูลาเบื้องต้น (Introduction to Copula)

Thu, 19 Sep 2024 00:00:00 +0000

ภาษาไทย

1. Copula คืออะไร

โคปูลา (Copula) เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการเชื่อมโยงการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่มหลายตัวเข้าด้วยกัน โดยการใช้ copula เราสามารถสร้างการแจกแจงร่วมของตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นอิสระกันจากการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแต่ละตัวได้ copula เป็นเครื่องมือที่สำคัญในการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นระหว่างตัวแปรสุ่มหลายตัว

ฟังก์ชันคอปูลา $ C(u_1, u_2, \dots, u_d) $ คือฟังก์ชันการแจกแจงสะสมร่วมของตัวแปรสุ่มมาตรฐาน $ U_1, U_2, \dots, U_d $ โดยที่ตัวแปรสุ่มเหล่านี้มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอบนช่วง $[0,1]$ และสามารถเขียนฟังก์ชันคอปูลาได้ดังนี้:

\[ F(x_1, x_2, \dots, x_d) = C(F_1(x_1), F_2(x_2), \dots, F_d(x_d)) \]

โดยที่ $ F_1, F_2, \dots, F_d $ คือฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่ม $ X_1, X_2, \dots, X_d $ ตามลำดับ และ $ F $ คือฟังก์ชันการแจกแจงสะสมร่วมของตัวแปรสุ่มเหล่านี้

คุณสมบัติของคอปูลา:

คอปูลาใช้ในการจำลองความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงต่างกัน
คอปูลาเป็นฟังก์ชันที่ไม่ขึ้นกับการแจกแจงแบบขอบ (Marginal Distribution)
คอปูลาได้รับความนิยมในการประยุกต์ใช้ในด้านการเงินและการบริหารความเสี่ยง เช่น การสร้างแบบจำลองความสัมพันธ์ระหว่างสินทรัพย์ในพอร์ตการลงทุน

ตัวอย่างการใช้คอปูลา:

ในตลาดการเงิน การใช้คอปูลาในการวิเคราะห์ความเสี่ยงจะช่วยให้เราสามารถจำลองความสัมพันธ์ระหว่างการเปลี่ยนแปลงของราคาสินทรัพย์ที่มีการกระจายตัวต่างกัน เช่น การเชื่อมโยงการแจกแจงของหุ้นและพันธบัตรเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้

ศึกษา Copula ได้จากที่ไหน

แนวคิดทฤษฎี

คำภี ต้นตำหรับ แน่นอนครับเป็นใครไปไม่ได้ Neson นั่นเอง

การประยุกต์ใช้การจัดการคสามเสี่ยง

การใช้งานผ่าน Package R

เอกสารอ้างอิง

[1] V. K. Chauhan, K. Dahiya, and A. Sharma. Problem formulations and solvers in linear svm: a review. Artificial Intelligence Review, 52(2):803–855, 2019. [2] เจ. แพลตต์. การปรับค่าเล็กทีละขั้นตอนอย่างต่อเนื่อง: อัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับการฝึกเครื่องเวกเตอร์สนับสนุน 1998.

เครื่องเวกเตอร์สนับสนุนสำหรับการจำแนกประเภทบนผลตอบแทน SET100

Mon, 17 Jun 2024 00:00:00 +0000

หมายเหตุ

โครงการนี้เป็นการสอบ CQF ในเรื่องการเรียนรู้ของเครื่องในด้านการเงิน

ความเข้าใจปัญหา

ดัชนี SET100 ซึ่งเป็นตัวแทนของหุ้น 100 ตัวบนตลาดหลักทรัพย์แห่งประเทศไทย (SET) ทำหน้าที่เป็นตัวชี้วัดที่สำคัญสำหรับตลาดหุ้นของไทย แตกต่างจากดัชนีที่เป็นที่ยอมรับในตลาดพัฒนาหรือประเทศที่พัฒนาแล้ว เช่น S&P 500 หรือ FTSE 100 ดัชนี SET100 เผชิญกับสภาพเศรษฐกิจที่เปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วของตลาดเกิดใหม่ ตลาดเกิดใหม่อย่างประเทศไทยมีศักยภาพในการเติบโตที่สูงขึ้นเนื่องจากการอุตสาหกรรม, การขยายตัวของเมือง และโครงสร้างประชากรที่เอื้ออำนวย อย่างไรก็ตาม การเติบโตนี้มาพร้อมกับความผันผวนที่เพิ่มขึ้นและความเสี่ยงที่สูงขึ้น ซึ่งได้รับอิทธิพลจากความไม่มั่นคงทางการเมือง, ความผันผวนทางเศรษฐกิจ และผลกระทบจากเศรษฐกิจโลกSET100 มอบโอกาสการลงทุนที่โดดเด่นในหลายสาขา รวมถึงการเงิน พลังงาน สินค้าอุปโภคบริโภค และอุตสาหกรรม การรวมเอาธุรกิจขนาดเล็กถึงขนาดกลางเข้าสู่ดัชนีนี้เน้นศักยภาพในการเติบโตอย่างมีนัยสำคัญ คุณลักษณะเหล่านี้ พร้อมกับความท้าทายและโอกาสที่มีอยู่ในตลาดเกิดใหม่ ทำให้ SET100 เป็นหัวข้อที่น่าสนใจสำหรับการวิเคราะห์ทางการเงินและการคาดการณ์ผลตอบแทนการทำนายผลตอบแทนของหุ้นอย่างแม่นยำเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการตัดสินใจลงทุนอย่างมีข้อมูล ตลาดการเงินที่ผันผวนและซับซ้อน พร้อมปัจจัยต่าง ๆ เช่น ความรู้สึกของตลาด ตัวชี้วัดทางเศรษฐกิจ และเหตุการณ์ทางภูมิรัฐศาสตร์ ก่อให้เกิดความท้าทายอย่างมากต่อการทำนายผลตอบแทน วิธีการทางสถิติแบบดั้งเดิมมักไม่สามารถจับความสัมพันธ์แบบไม่เชิงเส้นภายในข้อมูลได้ ทำให้ต้องพึ่งพาเทคนิคการเรียนรู้ของเครื่องที่ล้ำหน้า ในโครงการนี้ เราใช้เครื่องมือ Support Vector Machines (SVM) เพื่อจำแนกผลตอบแทนรายวันของหุ้น SET100 โดยใช้ความสามารถของอัลกอริทึมในการจัดการข้อมูลมิติสูงและจำลองรูปแบบที่ซับซ้อน เป้าหมายของเราคือการเพิ่มความแม่นยำในการทำนาย เพื่อให้ข้อมูลเชิงลึกที่มีคุณค่าสำหรับนักลงทุนและผู้จัดการพอร์ตโฟลิโอ

การดึงข้อมูลข้อมูลสำหรับการศึกษานี้ รวมถึงราคาสำหรับเปิด สูง ต่ำ และปิด (OHLC) ของหุ้น SET100 ถูกดึงมาจาก Investing.com ชุดข้อมูลครอบคลุมตั้งแต่วันที่ 3 มกราคม 2018 ถึง 30 พฤษภาคม 2024 ให้ข้อมูลราคาประวัติศาสตร์อย่างครบถ้วน ที่นี่ ราคาทั้งหมดปรับตามเงินปันผลและนำเสนอเป็นสกุลเงินบาท (THB) หลังจากดึงข้อมูลมา ข้อมูลได้ผ่านกระบวนการทำความสะอาดอย่างละเอียดเพื่อให้มั่นใจในคุณภาพและความน่าเชื่อถือ กระบวนการนี้รวมถึงการจัดการกับค่าที่หายไป การลบข้อมูลซ้ำ และการทำให้รูปแบบวันที่สอดคล้องกัน

การสร้างภาพข้อมูล/คำอธิบายชุดข้อมูลประกอบด้วยคุณลักษณะหลักดังต่อไปนี้:

เปิด (Open): ราคาหุ้นเปิดในวันซื้อขายที่กำหนด
สูง (High): ราคาหุ้นสูงสุดในช่วงวันซื้อขาย
ต่ำ (Low): ราคาหุ้นต่ำสุดในช่วงวันซื้อขาย
ปิด (Close): ราคาหุ้นปิดในวันซื้อขาย

รูปที่ 1 แสดงการกระจายตัวของคุณลักษณะที่เลือกบางประการ ซึ่งให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับช่วงและแนวโน้มศูนย์กลางของพวกมัน ข้อมูลไม่มีค่าผิดปกติสุดโต่ง เนื่องจาก SET100 ไม่เติบโตอย่างรวดเร็วเมื่อเทียบกับตลาดอื่นและช่วงเวลาการศึกษาเป็นระยะเวลาสั้น ๆ ฮิสโตแกรมของคุณลักษณะต่าง ๆ แสดงแนวโน้มศูนย์กลาง นอกจากนี้คุณลักษณะเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันสูง การสร้างคุณลักษณะเพิ่มเติมเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อจับรูปแบบที่แท้จริงและปรับปรุงประสิทธิภาพของโมเดล

การทำความสะอาด/จัดการข้อมูลการทำความสะอาดและจัดการข้อมูลอย่างมีประสิทธิภาพเป็นขั้นตอนสำคัญในการเตรียมชุดข้อมูลสำหรับการวิเคราะห์และสร้างแบบจำลอง ในการศึกษานี้ ชุดข้อมูลซึ่งประกอบด้วยข้อมูลราคาประวัติศาสตร์ของดัชนี SET100 ได้ผ่านกระบวนการทำความสะอาดข้อมูลอย่างละเอียดเพื่อให้มั่นใจในคุณภาพและความน่าเชื่อถือของข้อมูล

การจัดการค่าที่หายไป

ค่าที่หายไปในชุดข้อมูลสามารถทำให้ผลลัพธ์ไม่ถูกต้องและเกิดอคติในแบบจำลอง เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เราได้ดำเนินการตามขั้นตอนดังต่อไปนี้:

ระบุค่าที่หายไปในชุดข้อมูล
เติมค่าที่หายไปโดยใช้วิธีเติมต่อจากค่าก่อนหน้าหรือค่าหลังที่เหมาะสม
สำหรับคุณสมบัติที่ไม่เหมาะสมกับการเติมค่า แถวที่มีค่าหายไปจะถูกลบออกเพื่อรักษาความสมบูรณ์ของข้อมูล

การลบข้อมูลซ้ำ

ระเบียนที่ซ้ำซ้อนสามารถทำให้การวิเคราะห์ผิดเพี้ยนและนำไปสู่ข้อสรุปที่ไม่ถูกต้อง เรารับประกันว่าชุดข้อมูลปราศจากข้อมูลซ้ำโดย:- ระบุและลบแถวที่ซ้ํากันตามคอลัมน์ ‘วันที่’

ในกระบวนการนี้ 70.% ของข้อมูลถูกจัดสรรให้กับชุดฝึก และ 30.% ไปยังชุดทดสอบพารามิเตอร์ \texttt{random_state} ถูกตั้งเป็น 42 เพื่อให้มั่นใจว่าผลลัพธ์สามารถทําซ้ําได้

วิศวกรรมฟีเจอร์

ตารางต่อไปนี้แสดงคุณลักษณะที่ถูกแปลง คําอธิบาย และสูตรทางคณิตศาสตร์ที่ใช้คํานวณ:|คุณสมบัติ |คําอธิบาย |สูตรคณิตศาสตร์ | |————————|———————————————————————————————————————————-|————————————————| |ความผันผวน |ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนในช่วงเวลา 10 วันแสดงระดับความผันผวนของราคาหุ้น แสดงถึงความไม่แน่นอนและความเสี่ยงของตลาด|$\text{std}(\text{Return}_{t-10:t-1})$ | |โมเมนตัม |ความแตกต่างระหว่างราคาปิดปัจจุบันกับราคาปิดเมื่อ 10 วันที่แล้วฟีเจอร์นี้ช่วยระบุแนวโน้มและความแข็งแกร่งของการเคลื่อนไหวของราคาหุ้น|$\text{ปิด}_{t-10} - \text{ปิด}_{t-20}$ || Avg_Open_Close | ค่าเฉลี่ยของราคาปิดและราคาเปิด ให้ค่าที่เรียบง่ายซึ่งแสดงถึงแนวโน้มศูนย์กลางของราคาภายในวันซื้อขาย | $ rac{ ext{Open}_{t-1} + ext{Close}_{t-1}}{2}$ | | Avg_High_Low | ค่าเฉลี่ยของราคาสูงสุดและราคาต่ำสุด ให้ข้อมูลเกี่ยวกับช่วงความผันผวนของราคาในแต่ละวัน แสดงถึงความผันผวนภายในวันซื้อขายเดียว | $ rac{ ext{High}_{t-1} + ext{Low}_{t-1}}{2}$ | | Price_Range | ความต่างระหว่างราคาสูงสุดและราคาต่ำสุด คุณสมบัตินี้แสดงการเคลื่อนไหวของราคาภายในวัน | $ ext{High}_{t-1} - ext{Low}_{t-1}$ | | Daily_Change | ความต่างระหว่างราคาปิดและราคาเปิด | $ ext{Close}_{t-1} - ext{Open}_{t-1}$ || เปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลงรายวัน | การเปลี่ยนแปลงรายวันเป็นเปอร์เซ็นต์ของราคาปิด เปิด เพื่อให้มุมมองที่ปรับมาตรฐานของการเปลี่ยนแปลงราคาประจำวัน | $ rac{ ext{Daily_Change}_{t}}{ ext{Open}_{t-1}} imes 100$ | | ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของราคาปิด | ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของราคาปิดในช่วง 10 วัน ให้แนวโน้มราคาปิดที่เรียบขึ้น | $ ext{mean}( ext{Close}_{t-10:t-1})$ | | ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของความผันผวน | ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของความผันผวนในช่วง 10 วัน เน้นแนวโน้มระยะยาวของความผันผวนในตลาด | $ ext{mean}( ext{Volatility}_{t-10:t-1})$ | | ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของโมเมนตัม | ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของโมเมนตัมในช่วง 10 วัน ช่วยในการระบุแนวโน้มที่ต่อเนื่องของการเคลื่อนไหวของราคา | $ ext{mean}( ext{Momentum}_{t-10:t-1})$ |ด้วยการออกแบบคุณสมบัติเหล่านี้ เราได้เปลี่ยนข้อมูลราคาหุ้นดิบให้เป็นชุดข้อมูลที่มีโครงสร้างซึ่งจับตัวชี้วัดทางการเงินที่สําคัญ ช่วยให้สามารถสร้างแบบจําลองและทํานายได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยแนวทาง SVM

การสร้างแบบจําลองข้อมูล

รองรับเครื่องเวกเตอร์

SVM ทํางานโดยหาไฮเปอร์เพลนที่แยกคลาสในพื้นที่ฟีเจอร์ได้ดีที่สุดไฮเปอร์เพลนถูกเลือกเพื่อเพิ่มขอบเขตสูงสุด ซึ่งเป็นระยะห่างระหว่างไฮเปอร์เพลนกับจุดข้อมูลที่ใกล้ที่สุดจากแต่ละคลาส

สําหรับ SVM เชิงเส้น ฟังก์ชันการตัดสินใจถูกกําหนดไว้ดังนี้:

$$ f(\mathbf{x}) = \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} + b $$

โดยที่ $\mathbf{w}$ คือเวกเตอร์น้ําหนัก, $\mathbf{x}$ คือเวกเตอร์อินพุต และ $b$ คือเทอมไบแอสไฮเปอร์เพลนถูกกําหนดโดยสมการ $\mathbf{w} \cdot \mathbf{x} + b = 0$วัตถุประสงค์ของ SVM คือการเพิ่มมาร์จิ้นให้สูงสุดในขณะที่จัดประเภทข้อมูลฝึกสอนอย่างถูกต้องซึ่งสามารถกําหนดเป็นปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่มีข้อจํากัด:

$$ \min_{\mathbf{w}, b} \frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2 + C \sum_{i=1}^{n} \xi_i $$ $$ \text{subject to } y_i (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) \geq 1 \quad \forall i $$

โดยที่ $y_i$ คือป้ายกํากับของคลาส และ $\mathbf{x}_i$ คือเวกเตอร์อินพุต, $\xi_i \geq 0 \quad \forall i$, และ $C$ คือพารามิเตอร์การทําให้เป็นปกติ

ค่าที่มากขึ้น $C$ จะเน้นการลดข้อผิดพลาดในการจัดประเภทผิดให้น้อยที่สุด ซึ่งอาจแลกมาด้วยขอบเขตที่น้อยลงสิ่งนี้อาจนําไปสู่โมเดลที่ตรงกับข้อมูลการฝึกอย่างใกล้ชิด (อคติต่ําแต่ความแปรปรวนสูง) ซึ่งอาจนําไปสู่การ overfitting

ในทางกลับกัน ค่าที่เล็กลง $C$ จะเน้นการเพิ่มมาร์จิ้นให้สูงสุด ทําให้เกิดการจัดประเภทผิดพลาดบางอย่างสิ่งนี้อาจนําไปสู่โมเดลที่ง่ายขึ้นซึ่งสามารถขยายผลได้ดีขึ้นกับข้อมูลที่ไม่เคยเห็น (อคติสูงแต่ความแปรปรวนต่ํา) ลดความเสี่ยงของการฟิตเกินโครงการนี้ใช้เทคนิคเคอร์เนลกับเคอร์เนลเชิงเส้น, RBF และซิกมอยด์ ตามที่สามารถพบได้ในภาคผนวก \ref{app:A}.

การเลือกแบบจำลองผ่านการปรับพารามิเตอร์

เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพของแบบจำลอง SVM เราได้ใช้ Grid Search ซึ่งเป็นวิธีแบบเป็นระบบในการปรับพารามิเตอร์ Grid Search เกี่ยวข้องกับการประเมินผลการทำงานของแบบจำลองผ่านชุดพารามิเตอร์ที่กำหนดล่วงหน้าเพื่อหาชุดค่าที่ให้ผลลัพธ์ดีที่สุด

ในการศึกษานี้ เราได้พิจารณาพารามิเตอร์สำคัญสามตัวสำหรับแบบจำลอง SVM:- $C$: พารามิเตอร์การทําให้เป็นปกติ ซึ่งควบคุมการแลกเปลี่ยนระหว่างการได้ค่าความคลาดเคลื่อนต่ําในข้อมูลฝึกสอนและการลดความซับซ้อนของโมเดลเพื่อหลีกเลี่ยงการฟิตเกิน

$\gamma$: สัมประสิทธิ์เคอร์เนลสําหรับเคอร์เนลที่ไม่เชิงเส้น (เช่น ฟังก์ชันฐานรัศมี RBF)มันกําหนดขอบเขตของอิทธิพลของตัวอย่างฝึกสอนเพียงหนึ่งตัว โดยค่าต่ําหมายถึง ‘ไกล’ และค่าสูงหมายถึง ‘ใกล้’
เคอร์เนล: ประเภทของฟังก์ชันเคอร์เนลที่ใช้ในการแปลงข้อมูลนําเข้าเราพิจารณาเคอร์เนลสองประเภท ได้แก่ ฟังก์ชันฐานเชิงเส้นและเรเดียล และเคอร์เนลซิกมิโอดเราได้กําหนดกริดของไฮเปอร์พารามิเตอร์โดยมีค่าดังนี้ $C \in \{0.1, 1, 10, 100\}$, $\gamma \in \{1, 0.1, 0.01, 0.001\}$ และเคอร์เนลสามประเภทที่เคยเป็นดิสปัสก่อนหน้านี้กริดที่กําหนดข้างต้นให้ผลลัพธ์รวมทั้งหมด 48 ชุด (4 ค่าสําหรับ $C$, 4 ค่าสําหรับ $\gamma$ และ 3 ค่าสําหรับเคอร์เนล)แต่ละค่าถูกประเมินเพื่อกําหนดชุดไฮเปอร์พารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่สุด หลังจากทําการค้นหาแบบกริด พบว่าพารามิเตอร์ที่ดีที่สุดคือ: $C = 1$ ในเคอร์เนลเชิงเส้น

ในทางปฏิบัติ ไลบรารี scikit-learn ของ Python ใช้อัลกอริทึม Sequential Minimal Optimization (SMO) [2] เพื่อแก้ปัญหาการปรับแต่ง SVM แบบคู่ [1]SMO แบ่งปัญหาออกเป็นปัญหาย่อยย่อย โดยแต่ละปัญหาเกี่ยวข้องกับตัวคูณ Lagrange เพียงสองตัวในแต่ละครั้ง ซึ่งทําให้การปรับแต่งมีประสิทธิภาพและขยายตัวได้มากขึ้นรายละเอียดสามารถดูได้ในภาคผนวก \ref{app:smo}## การตรวจสอบ/พัฒนาโมเดล

ประสิทธิภาพของโมเดลแสดงไว้ในตาราง \ref{tab:classification_report}โมเดล SVM มีความแม่นยํา 65.80% ซึ่งบ่งชี้ถึงอัตราการทํานายที่ถูกต้องสูงความแม่นยําสําหรับคลาส 0.0 (ผลตอบแทนลบ) อยู่ที่ 0.68 และสําหรับคลาส 1.0 (ผลตอบแทนบวก) อยู่ที่ 0.62 แสดงให้เห็นถึงความสามารถของโมเดลในการระบุผลตอบแทนลบได้แม่นยํากว่าผลตอบแทนบวกการเรียกคืนสําหรับคลาส 0.0 อยู่ที่ 0.74 และสําหรับคลาส 1.0 คือ 0.55 ซึ่งบ่งชี้ว่าโมเดลสามารถระบุผลตอบแทนลบจริงส่วนใหญ่ได้สําเร็จ แต่น้อยกว่าสําหรับผลตอบแทนบวกคะแนน F1 สําหรับทั้งสองคลาสอยู่ในระดับปานกลาง (0.71 สําหรับคลาส 0.0 และ 0.58 สําหรับคลาส 1.0) สะท้อนถึงความสมดุลระหว่างความแม่นยําและการเรียกคืนคะแนน ROC AUC 0.64 ยังยืนยันความสามารถในการแยกแยะผลตอบแทนบวกและลบของโมเดลนี้อีกด้วยเมทริกซ์ความสับสน (Confusion Matrix) ซึ่งแสดงในรูปที่ 2 ให้ข้อมูลเชิงลึกอย่างละเอียดเกี่ยวกับการทำนายของโมเดล จากการทำนายทั้งหมด 462 ครั้ง โมเดลทำการทำนายที่ถูกต้องและไม่ถูกต้องอย่างสมดุลสำหรับทั้งสองคลาส โดยเฉพาะ โมเดลทำนายค่า True Negative ถูกต้อง 194 ครั้ง และ True Positive ถูกต้อง 110 ครั้ง ซึ่งชี้ให้เห็นความน่าเชื่อถือของโมเดลในการแยกความแตกต่างระหว่างสองคลาส แต่ก็ยังมีพื้นที่ที่ต้องปรับปรุง

ค่า ROC AUC ซึ่งย่อมาจาก Receiver Operating Characteristic Area Under Curve ที่แสดงในรูปที่ 3 เป็นเครื่องวัดความสามารถของโมเดลในการแยกแยะระหว่างคลาส ค่า ROC AUC 0.64 แสดงถึงระดับการแยกแยะปานกลางระหว่างผลตอบแทนเชิงบวกและลบ แสดงให้เห็นว่าโมเดลดีกว่าการเดาสุ่ม แต่ยังมีพื้นที่ปรับปรุงอยู่

ข้อสรุปเกี่ยวกับการซื้อขายความแม่นยำและตัวชี้วัดประสิทธิภาพในระดับปานกลางของโมเดล SVM บ่งชี้ถึงความเป็นไปได้ในการประยุกต์ใช้ในกลยุทธ์การซื้อขายทางการเงิน ตัวอย่างเช่น การทำนายผลตอบแทนเป็นบวก (คลาส 1.0) อาจทำหน้าที่เป็นสัญญาณซื้อ ในขณะที่การทำนายผลตอบแทนเป็นลบ (คลาส 0.0) อาจบ่งชี้ถึงการขายหรือการถือครอง ความสามารถในการทำนายนี้สามารถผนวกรวมเข้ากับระบบการซื้อขายอัตโนมัติเพื่อปรับปรุงกระบวนการตัดสินใจ นอกจากนี้ การรวมกลยุทธ์การบริหารความเสี่ยง เช่น การตั้งคำสั่งหยุดขาดทุนตามการทำนายความผันผวน สามารถลดความสูญเสียที่อาจเกิดขึ้นได้ การปรับแต่งพอร์ตโฟลิโอยังสามารถได้รับประโยชน์จากการทำนายเหล่านี้โดยการกระจายการลงทุนไปยังหลายหุ้นใน SET100 เพื่อสร้างความสมดุลระหว่างความเสี่ยงและผลตอบแทน| มาตรฐาน|ความแม่นยำ|การดึงข้อมูล|F1-Score|จำนวนตัวอย่าง | |—————–|—————|————|————–|————-| | 0 | 0.68 | 0.74 | 0.71 | 262 | | 1 | 0.62 | 0.55 | 0.58 | 200 | | ความถูกต้อง | 0.66 | 0.66 | 0.66 | 462 | | ค่าเฉลี่ยแบบมาโคร | 0.65 | 0.64 | 0.65 | 462 | | ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก| 0.65 | 0.66 | 0.65 | 462 |

ตาราง: รายงานการจำแนกประเภทและมาตรฐาน

ภาคผนวก

เทคนิคเคอร์เนลSVM สามารถทําการจําแนกแบบไม่เชิงเส้นได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้ฟังก์ชันเคอร์เนลเคอร์เนลจะแปลงข้อมูลนําเข้าเป็นพื้นที่มิติที่สูงขึ้น ซึ่งสามารถใช้ตัวแยกเชิงเส้นเพื่อแยกความแตกต่างระหว่างคลาสต่าง ๆที่นี่ เราจะอธิบายเคอร์เนลที่ใช้กันทั่วไปสามประเภท ได้แก่ ฟังก์ชันเชิงเส้น, ฟังก์ชันฐานรัศมี (RBF) และซิกมอยด์

เคอร์เนลเชิงเส้น

เคอร์เนลเชิงเส้นเป็นเคอร์เนลประเภทที่ง่ายที่สุด ใช้เมื่อข้อมูลสามารถแยกเชิงเส้นในพื้นที่ฟีเจอร์เดิมได้ขอบเขตการตัดสินใจเป็นไฮเปอร์เพลนในพื้นที่ฟีเจอร์เดิม

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเคอร์เนลเชิงเส้นถูกกําหนดไว้ดังนี้:

$$ K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j $$

โดยที่ $\mathbf{x}_i$ และ $\mathbf{x}_j$ เป็นเวกเตอร์อินพุต และ $\cdot$ หมายถึงผลคูณจุด

ฟังก์ชันการตัดสินใจสําหรับเคอร์เนลเชิงเส้นกําหนดโดย:

$$ f(\mathbf{x}) = \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} + b $$

โดยที่ $\mathbf{w}$ คือเวกเตอร์น้ําหนัก และ $b$ คือเทอมไบแอส

เคอร์เนลฟังก์ชันฐานรัศมี (RBF)เคอร์เนล RBF หรือที่รู้จักกันในชื่อเคอร์เนลเกาส์เซียน เป็นตัวเลือกยอดนิยมสําหรับ SVM เพราะสามารถจัดการความสัมพันธ์ที่ไม่เชิงเส้นโดยการแมปข้อมูลไปยังพื้นที่มิติอนันต์มันมีประสิทธิภาพเป็นพิเศษเมื่อขอบเขตการตัดสินใจไม่เป็นเชิงเส้นสูง

ฟังก์ชันเคอร์เนล RBF ถูกกําหนดไว้ดังนี้:

$$ K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \exp\left(-\gamma \|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j\|^2\right) $$

โดยที่ $\gamma$ เป็นพารามิเตอร์ที่กําหนดความกว้างของฟังก์ชันเกาส์เซียน และ $\|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j\|^2$ คือระยะทางยูคลิดยกกําลังสองระหว่างเวกเตอร์อินพุต

ฟังก์ชันการตัดสินใจสําหรับเคอร์เนล RBF คือ:

$$ f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i y_i \exp\left(-\gamma \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_i\|^2\right) + b $$

โดยที่ $\alpha_i$ คือตัวคูณลากรังจ์, $y_i$ คือป้ายกํากับคลาส และ $b$ คือเทอมไบแอส

เคอร์เนลซิกมอยด์

เคอร์เนลซิกมอยด์มีพื้นฐานมาจากฟังก์ชันซิกมอยด์ ซึ่งมักใช้ในเครือข่ายประสาทเทียมมันสามารถแมปข้อมูลอินพุตไปยังพื้นที่มิติสูงกว่า คล้ายกับ RBF แต่ใช้กันน้อยกว่าฟังก์ชันเคอร์เนลซิกมอยด์ถูกนิยามว่า:

$$ K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \tanh\left(\gamma \mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j + c\right) $$

โดยที่ $\alpha$และ $c$ คือพารามิเตอร์ของเคอร์เนล และ $\tanh$ คือฟังก์ชันสัมผัสไฮเปอร์โบลิก

ฟังก์ชันการตัดสินใจสําหรับเคอร์เนลซิกมอยด์คือ:

$$ f(\mathbf{x}) = \tanh\left(\sum_{i=1}^{n} \gamma_i y_i (\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}_i) + c\right) $$

โดยที่ $\alpha_i$ คือตัวคูณลากรังจ์, $y_i$ คือป้ายกํากับคลาส และ $c$ คือพารามิเตอร์

SVM สูตรคู่

ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมมักถูกแก้โดยใช้สูตรคู่ของมันปัญหาคู่เน้นการหาตัวคูณลากรังจ์ $\alpha_i$ ที่เป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

$$ \max_{\alpha} \sum_{i=1}^{n} \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \alpha_i \alpha_j y_i y_j K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) $$

ขึ้นอยู่กับ:

$$ 0 \leq \alpha_i \leq C \quad \forall i $$

และ

$$ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i y_i = 0 $$

โดยที่ $K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)$ คือฟังก์ชันเคอร์เนลที่คํานวณผลคูณจุดในพื้นที่ฟีเจอร์ที่แปลงแล้ว

การปรับแต่งขั้นต่ําแบบลําดับ

อัลกอริทึม SMO ทํางานดังนี้:- เริ่มต้นตัวคูณลากรังจ์ $\alpha_i$ ให้เป็นศูนย์

รายการ ทําซ้ําจนกว่าจะบรรลุเป้าหมาย:
1. เลือกตัวคูณสองตัว $\alpha_i$ และ $\alpha_j$ ที่ละเมิดเงื่อนไข Karush-Kuhn-Tucker (KKT)
2. แก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมสําหรับตัวคูณทั้งสองนี้ในขณะที่ยังคงค่าตัวคูณอื่น ๆ ไว้
3. อัปเดตตัวคูณและเวกเตอร์น้ําหนักที่เกี่ยวข้อง $\mathbf{w}$ และเทอมไบแอส $b$

ข้อดีของอัลกอริทึม SMO คือมันแยกปัญหาการเขียนโปรแกรมกําลังสองขนาดใหญ่ออกเป็นชุดปัญหาขนาดเล็กที่แก้ไขได้ง่ายและรวดเร็วกว่า

การเพิ่มประสิทธิภาพของตัวคูณลากรังจ์สองตัว $\alpha_i$ และ $\alpha_j$ สามารถแสดงได้ดังนี้:

$$ \max_{\alpha_i, \alpha_j} \left( \alpha_i + \alpha_j - \frac{1}{2} \left( \alpha_i^2 K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_i) + \alpha_j^2 K(\mathbf{x}_j, \mathbf{x}_j) + 2 \alpha_i \alpha_j K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) \right) \right) $$

ภายใต้ข้อจํากัดดังนี้:

$$ 0 \leq \alpha_i, \alpha_j \leq C $$

และ

$$ y_i \alpha_i + y_j \alpha_j = \text{constant} $$

ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมแบบกําลังสองนี้แก้ไขได้ง่ายกว่ามาก และอัลกอริทึม SMO จะอัปเดตตัวคูณซ้ํา ๆ เพื่อหาคําตอบที่เหมาะสมที่สุด## อ้างอิง

[1] V. K. Chauhan, K. Dahiya, และ A. Sharma. การกำหนดปัญหาและตัวแก้ปัญหาใน SVM เชิงเส้น: การทบทวน. Artificial Intelligence Review, 52(2):803–855, 2019.

[2] J. Platt. การเพิ่มประสิทธิภาพน้อยลำดับ: อัลกอริธึมเร็วสำหรับการฝึกเครื่องเวกเตอร์สนับสนุน. 1998.

ทำไมตัวเลือกแบบ Lookback จึงมีราคาสูงกว่าตัวเลือกแบบ Asian, แนวทางการจำลอง

Mon, 22 Apr 2024 00:00:00 +0000

หมายเหตุ

โครงการนี้คือการสอบ CQF ในการจำลองมอนติคาร์โลสำหรับการประเมินราคาตัวเลือก

บทนำ

ออปชันแบบเอเชียนและลุคแบ็ค ซึ่งเป็นออปชันเอ็กโซติกสองประเภทที่แตกต่างกัน มีความแตกต่างกันในโครงสร้างการจ่ายผลตอบแทนโดยพื้นฐาน แต่ละประเภทออกแบบมาเพื่อตอบสนองความต้องการทางการเงินและโปรไฟล์ความเสี่ยงที่เฉพาะเจาะจง ออปชันแบบเอเชียน ซึ่งรวมถึงประเภทราคาเฉลี่ยและราคาใช้สิทธิ์เฉลี่ย จะคำนวณผลตอบแทนของพวกเขาจากราคากลางของสินทรัพย์อ้างอิงในช่วงเวลาที่กำหนด การเฉลี่ยนี้ช่วยลดผลกระทบของความผันผวน ทำให้ตัวเลือกเหล่านี้มักมีราคาถูกกว่าตัวเลือกมาตรฐาน จึงเหมาะสำหรับการป้องกันความเสี่ยงในตลาดที่มีความผันผวนสูงแต่แนวโน้มราคายังไม่แน่นอนในทางตรงกันข้าม ออปชั่นแบบลุคแบ็ค (lookback options) จะมีผลตอบแทนที่ขึ้นอยู่กับราคาสูงสุดหรือต่ำสุดของสินทรัพย์อ้างอิงในช่วงอายุของออปชั่น คุณสมบัตินี้ทำให้ผู้ถือออปชั่นได้รับประโยชน์จากราคาที่เอื้ออำนวยที่สุดในช่วงเวลาของออปชั่น ซึ่งช่วยให้ได้ผลตอบแทนที่เหมาะสมที่สุด เนื่องจากลักษณะดังกล่าว ออปชั่นแบบลุคแบ็คจึงมักมีราคาสูงกว่าออปชั่นมาตรฐานและออปชั่นเอเชียน และเป็นที่นิยมในกลุ่มนักลงทุนที่คาดการณ์การเคลื่อนไหวของตลาดอย่างมีนัยสำคัญและต้องการใช้ประโยชน์เต็มที่จากความผันผวนเหล่านั้น

ในกรอบตลาดที่สมบูรณ์ ค่าคาดหวังของผลตอบแทนที่ลดค่าด้วยอัตราดอกเบี้ยภายใต้มาตรการความน่าจะเป็นเป็นกลางความเสี่ยง $Q$ สำหรับราคาของอนุพันธ์ใด ๆ $V(S, t)$ สามารถนิยามทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้:

$$ V(S, t) = e^{r(T-t)} \mathbb{E}^Q[\Lambda(S_T)] $$

โดยที่ $r$ คืออัตราความเสี่ยง, $T$ คือเวลาหมดอายุ, $t$ คือเวลาปัจจุบัน, $S_T$ คือราคาหุ้นเมื่อหมดอายุ และ $\Lambda(S_T)$ หมายถึงฟังก์ชันการจ่ายเงินเฉพาะของออปชัน

ออปชันที่ขึ้นกับเส้นทาง เช่น ออปชันเอเชียแบบเฉลี่ยเลขคณิต แสดงให้เห็นถึงอิทธิพลของราคาสินทรัพย์อ้างอิงในอดีตต่อผลตอบแทน:

$$ \Lambda_{asian}(t) = (\bar{S} - K)^+, \ \text{where} \ \bar{S} = \frac{1}{m}\sum_{j = 1}^m S(t_j), $$

โดย $m$ แทนจํานวนช่วงเวลาการสังเกตในทํานองเดียวกัน ผลตอบแทนของตัวเลือกการมองย้อนกลับแบบตรอกคงที่ถูกกําหนดโดย:

$$ \Lambda_{lookback}(t) = (S_{\text{max}} - K)^+ $$

โดยที่ $S_{\text{max}}$ คือราคาสูงสุดที่ได้ในช่วงระยะเวลาของออปชันผลตอบแทนทั้งสองตัวเลือกสามารถหาได้ง่ายในตําราวรรณกรรม เช่น หนังสือมาตรฐานโดย Hull และ Basu [2]แม้ว่าตัวเลือกเหล่านี้จะไม่สามารถตั้งราคาวิเคราะห์ได้ภายในกรอบ Black-Scholes แบบดั้งเดิม แต่มีการใช้วิธีวิเคราะห์ทางเลือก เช่น ทฤษฎีสเปกตรัม เพื่อประมาณราคาของตัวเลือกในเอเชีย [3]อย่างไรก็ตาม การอภิปรายนี้จะเน้นไปที่การใช้ระบบออยเลอร์-มารุยามะมาตรฐานในการประมาณราคาของตัวเลือกเหล่านี้ และอธิบายทางคณิตศาสตร์ว่าทําไมตัวเลือกล็อกแบ็คจึงมีราคาสูงกว่าตัวเลือกเอเชียในส่วนถัดไป

วิธีการเชิงตัวเลข

วิธีการประมาณที่ง่ายที่สุดสําหรับกระบวนการราคาปกติแบบลอการิมอลคือระบบออยเลอร์-มารุยามะ ตามที่กล่าวไว้ใน [4] เพื่อจําลองราคาหุ้น $S$ ณ เวลา $t + \Delta t$ โดยอิงจากราคาหุ้น ณ เวลา $t$สูตรนี้กําหนดโดย:

$$ S_i(t_j) = S_i(t_{j-1})\left(1 + r (t_j - t_{j-1}) + \sigma \sqrt{t_j - t_{j-1}} Z_{ij} \right) $$

โดยที่ $r$ คืออัตราปลอดความเสี่ยง, $S_i(t_j)$ คือราคาสินทรัพย์พื้นฐานที่ดัชนีเส้นทาง $i$ และดัชนีเวลา $j$, $Z_{ij}$ เป็นตัวแปรปกติมาตรฐานอัลกอริทึมสําหรับสร้างเส้นทางและประมาณผลตอบแทนที่คาดว่าจะลดได้ถูกอธิบายไว้ในขั้นตอนต่อไปนี้

ผลลัพธ์และการอภิปรายจากการจําลองสถานการณ์

ตามอัลกอริทึมที่กล่าวถึง เราประเมินราคาของตัวเลือกเอเชียและตัวเลือก lookback โดยตั้งค่าพารามิเตอร์ดังนี้ โดยใช้ข้อมูลตัวอย่างที่ให้มา:

ราคาหุ้นเริ่มต้น $S_0 = 100$
ราคาขาย $E = 100$
เวลาหมดอายุ $T-t = 1$ ต่อปี
ความผันผวน $\sigma = 20\%$
อัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยงคงที่ $r = 5%$ควรสังเกตว่าสมการมาตรฐานแบบออยเลอร์-มารูยามาไม่ค่อยมีประสิทธิภาพเมื่อใช้กับออปชันที่ขึ้นอยู่กับเส้นทาง วิธีการแบ่งช่วงเวลา (discretization) ที่มีประสิทธิภาพมากกว่าซึ่งพิจารณาผลกระทบของเวลาช่วงกลางได้มีการอภิปรายใน [1] หน้า 7-8

เส้นทางง่าย 10,000 เส้นที่จำลองขึ้นแสดงไว้ในรูปที่ 1 ราคาของออปชันเป็นไปตามการแจกแจงแบบลอการิทึมปกติ ต่อไปจะมีการประยุกต์ใช้สมการที่เสนอเพื่อประเมินราคาของออปชันที่ให้พารามิเตอร์ ที่นี่ ช่วงเวลา (time step) ถูกตั้งค่าเป็น $m = 252$ หรือหนึ่งขั้นทุกวัน

ราคาของออปชันเอเชียนคือ 5.843582
ราคาของออปชันลุคแบ็คคือ 18.348289

รูปที่ 2 แสดงความแตกต่างของผลตอบแทนระหว่างออปชันแบบดูย้อนหลังและออปชันแบบเอเชียสำหรับแต่ละเส้นทาง ความแตกต่างทั้งหมดเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าผลตอบแทนของออปชันแบบดูย้อนหลังมีความเหนือกว่าออปชันแบบเอเชียอย่างสม่ำเสมอภายใต้พารามิเตอร์ที่เท่ากัน ผลลัพธ์นี้ได้มาจากฟังก์ชันผลตอบแทนของพวกเขา เนื่องจาก

$$ \max\{S(t_1), S(t_2), \dots, S(t_j)\} \geq \bar{S}(t), $$

จึงได้ว่า:

$$ \Lambda_{asian}(t) \leq \Lambda_{lookback}(t). $$

เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าฟังก์ชันค่ามากสุดมีความเหนือกว่าฟังก์ชันค่าเฉลี่ยเสมอ ดังที่ได้กล่าวถึงในภาคผนวก

ต่อไป สิ่งสำคัญคือการพิจารณาว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับช่วงราคาของออปชันหากวันครบกำหนดแตกต่างกัน รูปที่ 3 แสดงความแตกต่างระหว่างราคาของออปชันลุคแบ็กและออปชันเอเชียนในวันครบกำหนดที่แตกต่างกัน ดังที่สามารถสังเกตได้ ช่วงราคาจะเพิ่มขึ้นอย่างทวีคูณเมื่อระยะเวลาสัญญายาวขึ้น ซึ่งสมเหตุสมผลเพราะผู้ที่ออกออปชันลุคแบ็กจะรับความเสี่ยงมากขึ้นเนื่องจากราคาสูงสุดของสินทรัพย์อ้างอิงสามารถเกิดขึ้นได้ในช่วงเวลาที่ยาวขึ้น ในทางกลับกัน ผลตอบแทนเฉลี่ยของออปชันเอเชียนมักจะคาดเดาได้มากกว่าเมื่อช่วงเวลาของข้อมูลขยายออกไป เนื่องจากตัวอย่างเพียงไม่กี่ตัวจะไม่เปลี่ยนค่าเฉลี่ยของจำนวนมากอย่างมีนัยสำคัญในด้านการเงิน ตัวเลือกแบบมองย้อนหลังจะช่วยลดความเสี่ยงเรื่องเวลาได้อย่างมีประสิทธิภาพเนื่องจากผู้ถือรับประกันว่าจะสามารถได้ประโยชน์จากราคาที่ดีที่สุดที่เกิดขึ้นตลอดอายุของตัวเลือก คุณลักษณะนี้น่าสนใจเป็นพิเศษในตลาดที่ผันผวน ซึ่งการทำนายเวลาที่เหมาะสมที่สุดในการใช้สิทธิ์อาจเป็นเรื่องท้าทาย ในทางกลับกัน ตัวเลือกแบบเอเชียช่วยลดความเสี่ยงจากการถูกจัดการของตลาดใกล้วันหมดอายุและบรรเทาความเสี่ยงที่เกี่ยวข้องกับความผันผวนในระยะสั้น ลักษณะเหล่านี้ทำให้ตัวเลือกเอเชียมีความเสี่ยงต่ำกว่าสำหรับผู้ออกเมื่อเปรียบเทียบกับตัวเลือกแบบมองย้อนหลัง

สรุปรายงานฉบับนี้ได้สำรวจลักษณะทางการเงินและกลไกการกำหนดราคาของออปชั่นแบบคอลเอเชียนและลุคแบ็คโดยใช้วิธีการจำลองแบบออยเลอร์-มารูยามา การจำลองของเราได้ยืนยันว่าออปชั่นลุคแบ็คมักมีราคาสูงกว่าออปชั่นเอเชียนภายใต้พารามิเตอร์ที่เท่ากัน ความแตกต่างนี้มาจากโครงสร้างการจ่ายผลตอบแทนที่มีอยู่ในแต่ละออปชั่น ออปชั่นลุคแบ็ค ซึ่งจ่ายตามราคาสูงสุดหรือต่ำสุดของสินทรัพย์อ้างอิง ให้ผลตอบแทนที่ใช้ประโยชน์จากสภาวะตลาดที่ดีที่สุดในช่วงอายุของออปชั่น ดังนั้น ออปชั่นเหล่านี้จึงมีคุณค่าเป็นพิเศษในตลาดที่มีความผันผวนสูงซึ่งราคาสามารถมีจุดสูงสุดที่สำคัญในทางกลับกัน ออปชันเอเชียจะเฉลี่ยราคาสินทรัพย์พื้นฐานในช่วงเวลาหนึ่ง ซึ่งช่วยปรับความเคลื่อนไหวของตลาดให้ราบรื่นขึ้นลักษณะนี้ไม่เพียงแต่ลดต้นทุนของออปชัน แต่ยังลดโอกาสในการตอบแทนเมื่อเทียบกับออปชันย้อนหลังจากมุมมองการบริหารความเสี่ยง ออปชันเอเชียให้การลงทุนที่มั่นคงกว่าแต่โดยทั่วไปให้ผลตอบแทนน้อยกว่าออปชันย้อนหลัง

ภาคผนวก

เลมมา: ให้ $X$ เป็นเซตของจํานวนจริงจากนั้น

$$ \bar{X} \leq \max X $$

หลักฐาน: เมื่อกําหนดว่า $\bar{X} = \frac{1}{m}\sum_{i = 1}^m x_i$ โดยที่ $x_i \ใน X$ จะได้ว่า $x_i \leq \max X$ดังนั้น เรามี

$$ \bar{X} = \frac{1}{m}\sum_{i = 1}^m x_i \leq \frac{1}{m}\sum_{i = 1}^m \max X = \frac{1}{m} (m \max X) = \max X. $$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยของสมาชิกใน $X$ ไม่สามารถเกินค่าสูงสุดในหน่วย $X$

อ้างอิง

[1] พี. กลาสเซอร์แมน.วิธีการมอนติคาร์โลในวิศวกรรมการเงิน เล่ม 53.สปริงเกอร์, 2004.[2] J. C. Hull และ S. Basu. Options, futures, and other derivatives. Pearson Education India, 2016.

[3] V. Linetsky. การกำหนดราคาที่แม่นยำของออปชันแบบเอเชียน: การประยุกต์ใช้ทฤษฎีสเปกตรัม. Operat. Res, 2001.

[4] G. Maruyama. กระบวนการมาร์คอฟต่อเนื่องและสมการสุ่ม. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 4:48–90, 1955.

ข้อเท็จจริงบางประการของตราสารสิทธ์แบบง่าย 1 (Some Facts on Vanilla Option I)

Tue, 30 Aug 2022 00:00:00 +0000

1. ทำไมออปชั่นถึงมี Leverageเดลดาใน Black-Scholes Greek คืออะไรDelta เป็นกรีกออฟชั่นที่ใช้ในการวัดความไวของราคาของออปชั่นเมื่อราคาสินทรัพย์อ้างอิงเปลี่ยนแปลง โดยค่า Delta สำหรับ call option คำนวณได้จากอนุพันธ์ของราคาของออปชั่น $C$ กับราคาสินทรัพย์อ้างอิง $S$:

$$\Delta_C = \frac{\partial C}{\partial S} = N(d_1)$$

โดย $d_1$ ถูกนิยามโดย

$$d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}$$

เนื่องจาก $N(d_1)$ เป็นฟังก์ชันสะสมของการแจกแจงปกติ มันจึงอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ ทำให้ค่า Delta ไม่ต่ำกว่า 0

และสมการ BS ถูกสร้างมาจาด Hedging Position ของพอตโฟลิโอ

$$\Pi = -V + \Delta S$$

ซึ้งสามารถอนุมานได้ว่า $E(V) = \Delta E(S)$ การที่ $\Delta \leq 1$ นั่นคือ $E(S)$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ $E(V)$

ออปชั่นมี Leverageเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยของราคาสินทรัพย์อ้างอิงทำให้ราคาของออปชั่นเปลี่ยนแปลงมากขึ้นตามค่าDelta ซึ่งทำให้ผู้ลงทุนสามารถควบคุมสินทรัพย์ได้ด้วยเงินทุนที่น้อยกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับการลงทุนโดยตรงในสินทรัพย์นั้น.

2. มูลค่าของออฟชั่นไวต่อความผันผวน

3. ทำไมราคาของออฟชันลดลงเมื่อเข้าใกล้วันหมดอายุ

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม

Mon, 10 Aug 2020 00:00:00 +0000

หมายเหตุ

โครงการนี้คือการบ้านของมหาวิทยาลัย WorldQuant ในวิชา MScFE 622 เรื่องกระบวนการสุ่มต่อเนื่อง

คําถาม

ให้ $W = \{W_t: t \geq 0\}$ เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนบน $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F} = (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}, \mathbb{P})$.กําหนด $\alpha, \ \beta \ใน \mathbb{R}$ และพิจารณา SDE ดังนี้:

$$ d X_t = \frac{\beta - X_t}{T-t}dt + d W_t, \ \ \ 0< t < T, \ (E1) $$

และ

$$X_0 = \alpha, \ X_T = \beta.$$

คําตอบของ SDE นี้ที่มีเงื่อนไขขอบเขตที่กําหนด เรียกว่า บราวเนียนบริดจ์โดยการนําบทนิยามของอิโตะไปใช้กับ $Y_t := f(t,X_t) = \frac{X_t}{T-t}$ ให้แก้ SDE นี้และหาการแจกแจง ค่าเฉลี่ย และความแปรปรวนของ $X_t$ โดยที่ $0 < t < T.$\\

ตอบ

เรานําเลมมา Ito มาใช้กับกระบวนการ $Y_t =\frac{X_t}{T-t}$,

$$ \begin{align} d Y_t &= \pdv{f(t,X_t)}{t}dt + \pdv{f(t,X_t)}{X_t} d X_t + \frac{1}{2}\pdv[2]{f(t,X_t)}{X_t} d X_t^2 & \text{Ito's Lemma}\\ &= \frac{X_t}{(T-t)^2}dt + \frac{1}{(T-t)}d X_t + 0 & \text{Differentiating} \\ &= \frac{X_t}{(T-t)^2}dt + \frac{1}{(T-t)}\left(\frac{\beta - X_t}{T-t}dt + d W_t\right) & \text{Using (\ref{BB})} \\ &= \frac{\beta}{(T-t)^2}dt + \frac{1}{(T-t)}d W_t & \text{Rearranging} \ (E3). \end{align} $$

ต่อไปเราจะหาคําตอบของกระบวนการ $Y_t$ ใน (E3) โดยการอินทิเกรต

$$ \begin{align} Y_t &= Y_0 + \int_0^t \frac{\beta}{(T-s)^2}ds + \int_0^t \frac{1}{(T-s)}d W_s & \text{Integrating (\ref{DYR})} \nonumber\\ &= Y_0 + \frac{2\beta}{T-t} -\frac{2\beta}{T} + \int_0^t \frac{1}{(T-s)}d W_s & \nonumber \\ &= \frac{\alpha}{T-t} + \frac{2\beta}{T-t} -\frac{2\beta}{T} + \int_0^t \frac{1}{(T-s)}d W_s & Y_0 = \frac{X_0}{T-t} = \frac{\alpha}{T-t} \nonumber \\ &= \frac{\alpha+2\beta}{T-t} -\frac{2\beta}{T} + \int_0^t \frac{1}{(T-s)}d W_s & \nonumber \end{align} $$

ดังนั้น

$$ \begin{align} X_t &= (T-t)\left(\frac{\alpha+2\beta}{T-t} -\frac{2\beta}{T} + \int_0^t \frac{1}{(T-s)}d W_s \right)\nonumber \\ &= \alpha+2\beta \left( \frac{t}{T }\right) + (T-t)\int_0^t \frac{1}{(T-s)}d W_s \ (E4).\\ \end{align} $$

โดยใช้เงื่อนไขขอบเขต $X_T = \beta$,

$$ \begin{align} \beta &= \alpha+2\beta \left( \frac{T}{T }\right) + (T-T)\int_0^T \frac{1}{(T-s)}d W_s \\ & = -\alpha. \end{align} $$

ดังนั้นคําตอบใน (E4) สามารถเขียนใหม่เป็น

$$ X_t = \alpha \left( 1 -\frac{2t}{T }\right) + (T-t)\int_0^t \frac{1}{(T-s)}d W_s. $$

ดังนั้น $X_t$ จึงมีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ย

$$\mathbb{E}(X_t) = \alpha \left( 1 -\frac{2t}{T }\right),$$

และความแปรปรวน

$$\text{Var}(X_t) = \text{Var}\left((T-t)\int_0^t \frac{1}{(T-s)}d W_s\right)= (T-t)^2\int_0^t \frac{1}{(T-s)^2}ds =2(T-t)^2\left(\frac{1}{T-t} - \frac{1}{T}\right),$$

เช่น $X_t \sim N\left(\alpha \left( 1 -\frac{2t}{T }\right),2(T-t)^2\left(\frac{1}{T-t} - \frac{1}{T}\right)\right)$.

ตัวอย่างของมาร์ติงเกล

Tue, 21 Jul 2020 00:00:00 +0000

หมายเหตุ

โครงการนี้คือมหาวิทยาลัย WorldQuant ในหลักสูตร MScFE 622 เรื่องกระบวนการเชิงสุ่มเวลาต่อเนื่อง

คําถามที่ 1

ให้ $W = \{W_t : t \geq 0\}$ เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนบน $(\omega, \mathcal{F}, \mathbb{F} = (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}, \mathbb{P})$

คําถามที่ 1.1

แสดงว่า $W$ เป็น $\mathbb{F}$-martingale

ตอบ

เราพิจารณาข้อมูลที่สถานะ $s$ โดยที่ $s \leq t$จากสมมติฐานว่า $W$ เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน ซึ่งบ่งชี้ว่า $W_t \sim N(0,t)$ และ $W_s \sim N(0,s)$ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขที่กําหนดสถานะข้อมูล $s$ ของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนคือ

$$ \begin{align*} \mathbb{E}[W_t|\mathcal{F}_s] &= \mathbb{E}[(W_t - W_s + W_s)|\mathcal{F}_s] & \text{Include and exclude rules} \\ & = \mathbb{E}[(W_t - W_s)|\mathcal{F}_s] + \mathbb{E}[W_s|\mathcal{F}_s] & \text{Linear property of the expectation } \\ & = \mathbb{E}[(W_t - W_s)] + W_s & \text{$W_t - W_s \sim N(0,t-s)$ and it is independent of $\mathcal{F}_s$}\\ & = \mathbb{E}[W_t] - \mathbb{E}[W_s] + W_s & \text{Linear property of the expectation} \\ & = 0 - 0+ W_s & \text{$W_t \sim N(0,t)$ and $W_s \sim N(0,s)$} \\ & = W_s. \end{align*} $$

ดังนั้น $W$ จึงเป็น $\mathbb{F}-$martingale

คําถามที่ 1.2

แสดงว่าสําหรับทุก $\alpha \ใน \mathbb{R}$ กระบวนการ

$$X_t^{\alpha} =: \exp(\alpha W_t - \frac{1}{2}\alpha^2t)$$

เป็น $\mathbb{F}$-martingale

ตอบเราทราบว่า $W_t \sim N(0,t)$จากการสร้างโมเมนต์ของการแจกแจงปกติ ($X \sim N(\mu,\sigma^2)$ แล้ว $M_X(\alpha) = \exp(\alpha\mu + \frac{1}{2}\sigma^2\alpha^2)$ ความสัมพันธ์ระหว่าง $W_t-W_s \sim N(0,s-t)$ กับฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์ของมันถูกกําหนดโดย

$$ \begin{align} M_{W_t-W_s}(\alpha) &= \mathbb{E}(\exp(\alpha(W_t-W_s))) \nonumber\\ &= \exp(\alpha\mu + \frac{1}{2}\sigma^2\alpha^2) & W_t - W_s \sim N(0,s-t) \nonumber\\ & = \exp(\alpha (\mathbb{E}(W_t) - \mathbb{E}(W_s)) + \frac{1}{2}(s-t)\alpha^2) & \mu = \mathbb{E}(x),\ \sigma^2 = s-t \nonumber\\ & = \exp(\frac{1}{2}(s-t)\alpha^2) & \mathbb{E}(W_t) = \mathbb{E}(W_s) = 0. \ (E3) \end{align} $$

อีกครั้ง เราพิจารณาค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของกระบวนการ $X_t^\alpha$,

$$ \begin{align*} \mathbb{E}[X_t^{\alpha}|\mathcal{F}_s] &= \mathbb{E}\left[\exp(\alpha W_t - \frac{1}{2}\alpha^2t)\Bigg|\mathcal{F}_s\right] &\text{Given information} \\ & = \mathbb{E}\left[\exp(\alpha(W_t - W_s) + \alpha W_s- \frac{1}{2}\alpha^2t) \Bigg|\mathcal{F}_s\right] & \text{Include and exclude rules} \\ & = \mathbb{E}\left[\exp(\alpha(W_t - W_s))\exp(\alpha W_s -\frac{1}{2}\alpha^2t) \Bigg|\mathcal{F}_s\right] &\text{Exponential function's property} \\ & = \exp(\alpha W_s -\frac{1}{2}\alpha^2t) \mathbb{E}\left[\exp(\alpha(W_t - W_s)) \Bigg|\mathcal{F}_s\right] &\text{$W_s$ is measurable with respect to $\mathcal{F}_s$} \\ & = \exp(\alpha W_s -\frac{1}{2}\alpha^2t) \mathbb{E}[\exp(\alpha(W_t - W_s))]&\text{$W_t - W_s \sim N(0,t-s)$ independent of $\mathcal{F}_s$}\\ & = \exp(\alpha W_s -\frac{1}{2}\alpha^2t)\exp(\frac{1}{2}(s-t)\alpha^2) &\text{Using MGF (E3)} \\ & = \exp(\alpha W_s - \frac{1}{2}\alpha^2s) &\text{Simplifying} \\ & = X_s^\alpha &\text{From Definition of $X_s^\alpha$} \end{align*} $$

ดังนั้น $X_t^\alpha$ เป็น $\mathbb{F}-$martingale สําหรับทุก $\alpha \ใน \mathbb{R}$\

คําถามที่ 2

กําหนดพหุนาม $H_n(x,y);\ n = 0,1,2,\dots$ โดย

$$H_n(x,y) = \frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} \exp(\alpha x - \frac{1}{2}\alpha^2y) \ \text{at} \ \alpha = 0$$

ตัวอย่างเช่น

$$H_0(x,y) = 1, \ H_(x,y) =x, \ H_2(x,y) = x^2-y, \ H_3(x,y) = x^3-3xy,\ H_4(x,y) = x^4-6x^2y+3y^3, \ \text{etc.}$$

สามารถแสดงได้ (โดยใช้ชุด Taylor) ว่า

$$X_t^\alpha = \exp(\alpha W_t - \frac{1}{2}\alpha^2t) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{n!}H_n(W_t,t)$$

ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่า $H_n(W_t,t)$ เป็นมาร์ติงเกลสําหรับแต่ละ $n$

คําถามที่ 2.1

ให้ $0 \leq s \leq t$ และ $\alpha \in \mathbb{R}$อธิบายว่าทําไมสําหรับแต่ละ$F \ใน \mathcal{F}_s$

$$\int_{F} X_t^\alpha d \mathbb{P} = \int_{F} X_s^\alpha d\mathbb{P}$$

ตอบข้อความนี้สามารถอธิบายได้ง่ายโดยนิยามของค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไข

$$\mathbb{E}(X|F) = \int_F X d\mathbb{P},$$

สําหรับ $F \ใน \mathcal{F}$เราใช้ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของกระบวนการ $X_t^\alpha$,

$$ X_s^\alpha = \mathbb{E}[(X_t^\alpha|F)]= \int_{F} X_s^\alpha d\mathbb{P} \ (E1.), $$

เนื่องจาก $\mathbb{F}$-martingale ของ $X_t^\alpha$ และนิยามของค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขเรายังทราบว่า $\mathbb{E}(X_t^\alpha) < \infty$จากนั้นเราพิจารณาอีกครั้ง $X_s^\alpha$,

$$ X_s^\alpha = \mathbb{E}[(X_s^\alpha|F)]= \int_{F} X_s^\alpha d\mathbb{P} \ (E2.), $$

เนื่องจาก $X_s$ เป็น $\mathcal{F}_s$-วัดได้ และเป็นนิยามของค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขการตั้งค่า $E 1 = E2$,

$$\int_{F} X_t^\alpha d \mathbb{P} = \int_{F} X_s^\alpha d\mathbb{P}$$

คําถามที่ 2.2

โดยการหาอนุพันธ์ (3a) ทั้งสองด้าน $n$ คูณกับ $\alpha$ และสลับอนุพันธ์กับอินทิกรัล (ไม่จําเป็นต้องอธิบายขั้นตอนนี้) แสดงว่า

$$\mathbb{E}(H_n(W_t,t)|\mathcal{F}_s) = H_n(W_s,s),$$

ตอบ

เมื่อพิจารณาอนุพันธ์เวลา $n$ ตาม $\alpha$ เราจะได้

$$ \begin{align*} \pdv[n]{}{\alpha}\int_{F} X_t^\alpha d \mathbb{P} &= \pdv[n]{}{\alpha}\int_{F} X_s^\alpha d\mathbb{P} &\text{From (3a)} \\ \int_{F} \pdv[n]{}{\alpha} X_t^\alpha d \mathbb{P} &=\int_{F} \pdv[n]{}{\alpha} X_s^\alpha d\mathbb{P} & \text{Interchange between} \\ && \text{derivative and integral} \\ \int_{F} \pdv[n]{}{\alpha}\exp(\alpha W_t - \frac{1}{2}\alpha^2t) d \mathbb{P} &=\int_{F} \pdv[n]{}{\alpha} \exp(\alpha W_s - \frac{1}{2}\alpha^2s) d \mathbb{P} &\text{Definition of $X_{\cdot}^\alpha$}\\ \int_{F} H_n(W_t,t) d \mathbb{P} &=\int_{F} H_n(W_s,s) d\mathbb{P} &\text{Definition of $H_n(x,y)$}\\ \mathbb{E}(H_n(W_t,t)|F) &= \mathbb{E}(H_n(W_s,s)|F) &\text{Definition of}\\ &&\text{the conditional expectation}\\ \mathbb{E}(H_n(W_t,t)|F) &= H_n(W_s,s) &\text{$W_s$ is $F$-measurable} \end{align*} $$

เนื่องจาก $F \ใน \mathcal{F}_s$,

$$ \mathbb{E}(H_n(W_t,t)|\mathcal{F}_s) = H_n(W_s,s) $$

คําถามที่ 2.3สรุปว่า $\{ H_n(W_t,t) : t \geq 0 \}$ เป็นมาร์ติงเกล

ตอบ

จากสมการ (\ref{4}) กระบวนการ $\{ H_n(W_t,t) : t \geq 0 \}$ เป็น $\mathcal{F}_s$-martingale

สัญลักษณ์	ความหมาย
\( X, Y \)	ตัวแปรสุ่มสองตัว เช่น ผลตอบแทนของสินทรัพย์
\( F_X, F_Y \)	ฟังก์ชันสะสมความน่าจะเป็น (CDF) ของแต่ละตัวแปร
\( F_X^{-1}(u), F_Y^{-1}(u) \)	ค่าควอนไทล์ที่ระดับ \( u \) เช่น ค่าที่ต่ำกว่าร้อยละ \( u \) ของข้อมูล
\( u \to 0^+ \)	มองที่ค่าต่ำมาก (บริเวณหางซ้ายของการแจกแจง) เช่น \( u = 0.01 \) หรือ \( 0.001 \)

สัญลักษณ์	ความหมาย
\( u \to 1^- \)	มองที่ค่าที่สูงมาก (บริเวณหางขวาของการแจกแจง) เช่น \( u = 0.99 \) หรือ \( 0.999 \)
ตัวแปรอื่น ๆ	เหมือนกับนิยามใน \( \lambda_L \)

นิยาม	สูตร (แบบ Copula)	สูตร (แบบ Conditional Prob.)
Lower Tail (λ_L)	\( \lambda_L = \lim_{u \to 0^+} \frac{C(u,u)}{u} \)	\( \lambda_L = \lim_{u \to 0^+} \mathbb{P}(Y \leq F_Y^{-1}(u) \mid X \leq F_X^{-1}(u)) \)
Upper Tail (λ_U)	\( \lambda_U = \lim_{u \to 1^-} \frac{1 - 2u + C(u,u)}{1 - u} \)	\( \lambda_U = \lim_{u \to 1^-} \mathbb{P}(Y > F_Y^{-1}(u) \mid X > F_X^{-1}(u)) \)

สัญลักษณ์	ความหมาย
\( U_i, V_i \)	ค่าควอนไทล์แบบ empirical ของ \( R_X \) และ \( R_Y \)
\( u \)	ค่าคัดกรองหาง เช่น 0.05 (5%) หรือ 0.01 (1%)
\( \#\{ \cdot \} \)	จำนวนข้อมูลที่เข้าเงื่อนไข

บล็อก | พศิน มรุปัณฑ์ธร | นักวิจัยเชิงปริมาณ

ความเสี่ยงที่หาง (Tail Dependence)

📉 Tail Dependence – เมื่อเกิดวิกฤต ความสัมพันธ์เชิงเส้นล้มเหลว แล้วเราจะทำอย่างไร?

📆 เหตุการณ์สำคัญในตลาดหุ้นสหรัฐฯ สัปดาห์ที่ผ่านมา

🔄 ความสัมพันธ์ของสินทรัพย์เปลี่ยนไปอย่างไร?

ประเภทของ Tail Dependence:

🧪 ตัวอย่างจากข้อมูลจริง

🛠️ การประยุกต์ใช้ Tail Dependence

📊 การบริหารพอร์ตการลงทุน (Portfolio Risk Management)

🏦 การบริหารเงินทุนของสถาบันการเงิน (Capital Management)

🧠 การคำนวณ Tail Dependence

🟥 1. Lower Tail Dependence (λL)

🟩 2. Upper Tail Dependence (λU)

🔄 สรุปเปรียบเทียบสองนิยาม:

🧠 การคำนวณ Tail Dependence จากข้อมูลจริง (Empirical Estimation)

✅ Input:

🔢 Step-by-step:

🔹 Step 1: เตรียมข้อมูล

🔹 Step 2: แปลงข้อมูลเป็นค่าควอนไทล์ (Empirical Quantiles)

🟥 Step 3: คำนวณ Lower Tail Dependence \( \hat{\lambda}_L(u) \)

🟩 Step 4: คำนวณ Upper Tail Dependence \( \hat{\lambda}_U(u) \)

🔍 คำอธิบายตัวแปร:

🖥️ ตัวอย่างโค้ด Python (Empirical Estimation)

โคปูลาเบื้องต้น (Introduction to Copula)

1. Copula คืออะไร

คุณสมบัติของคอปูลา:

ตัวอย่างการใช้คอปูลา:

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้

ศึกษา Copula ได้จากที่ไหน

แนวคิดทฤษฎี

การประยุกต์ใช้การจัดการคสามเสี่ยง

การใช้งานผ่าน Package R

เอกสารอ้างอิง

บทความที่เกี่ยวข้อง

เครื่องเวกเตอร์สนับสนุนสำหรับการจำแนกประเภทบนผลตอบแทน SET100

หมายเหตุ

ความเข้าใจปัญหา

การสร้างภาพข้อมูล/คำอธิบายชุดข้อมูลประกอบด้วยคุณลักษณะหลักดังต่อไปนี้:

การจัดการค่าที่หายไป

การลบข้อมูลซ้ำ

วิศวกรรมฟีเจอร์

การสร้างแบบจําลองข้อมูล

รองรับเครื่องเวกเตอร์

การเลือกแบบจำลองผ่านการปรับพารามิเตอร์

ภาคผนวก

เคอร์เนลเชิงเส้น

เคอร์เนลซิกมอยด์

SVM สูตรคู่

การปรับแต่งขั้นต่ําแบบลําดับ

ทำไมตัวเลือกแบบ Lookback จึงมีราคาสูงกว่าตัวเลือกแบบ Asian, แนวทางการจำลอง

หมายเหตุ

บทนำ

วิธีการเชิงตัวเลข

ผลลัพธ์และการอภิปรายจากการจําลองสถานการณ์

ภาคผนวก

อ้างอิง

ข้อเท็จจริงบางประการของตราสารสิทธ์แบบง่าย 1 (Some Facts on Vanilla Option I)

2. มูลค่าของออฟชั่นไวต่อความผันผวน

3. ทำไมราคาของออฟชันลดลงเมื่อเข้าใกล้วันหมดอายุ

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม

หมายเหตุ

คําถาม

ตอบ

ตัวอย่างของมาร์ติงเกล

หมายเหตุ

คําถามที่ 1

คําถามที่ 1.1

ตอบ

คําถามที่ 1.2

คําถามที่ 2

คําถามที่ 2.1

ตอบข้อความนี้สามารถอธิบายได้ง่ายโดยนิยามของค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไข

คําถามที่ 2.2

ตอบ

คําถามที่ 2.3สรุปว่า $\{ H_n(W_t,t) : t \geq 0 \}$ เป็นมาร์ติงเกล

ตอบ

🟥 1. Lower Tail Dependence (λ_L)

🟩 2. Upper Tail Dependence (λ_U)