ตัวอย่างของมาร์ติงเกล

หมายเหตุ

โครงการนี้คือมหาวิทยาลัย WorldQuant ในหลักสูตร MScFE 622 เรื่องกระบวนการเชิงสุ่มเวลาต่อเนื่อง

คําถามที่ 1

ให้ $W = \{W_t : t \geq 0\}$ เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนบน $(\omega, \mathcal{F}, \mathbb{F} = (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}, \mathbb{P})$

คําถามที่ 1.1

แสดงว่า $W$ เป็น $\mathbb{F}$-martingale

ตอบ

เราพิจารณาข้อมูลที่สถานะ $s$ โดยที่ $s \leq t$จากสมมติฐานว่า $W$ เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน ซึ่งบ่งชี้ว่า $W_t \sim N(0,t)$ และ $W_s \sim N(0,s)$ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขที่กําหนดสถานะข้อมูล $s$ ของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนคือ

$$ \begin{align*} \mathbb{E}[W_t|\mathcal{F}_s] &= \mathbb{E}[(W_t - W_s + W_s)|\mathcal{F}_s] & \text{Include and exclude rules} \\ & = \mathbb{E}[(W_t - W_s)|\mathcal{F}_s] + \mathbb{E}[W_s|\mathcal{F}_s] & \text{Linear property of the expectation } \\ & = \mathbb{E}[(W_t - W_s)] + W_s & \text{$W_t - W_s \sim N(0,t-s)$ and it is independent of $\mathcal{F}_s$}\\ & = \mathbb{E}[W_t] - \mathbb{E}[W_s] + W_s & \text{Linear property of the expectation} \\ & = 0 - 0+ W_s & \text{$W_t \sim N(0,t)$ and $W_s \sim N(0,s)$} \\ & = W_s. \end{align*} $$

ดังนั้น $W$ จึงเป็น $\mathbb{F}-$martingale

คําถามที่ 1.2

แสดงว่าสําหรับทุก $\alpha \ใน \mathbb{R}$ กระบวนการ

$$X_t^{\alpha} =: \exp(\alpha W_t - \frac{1}{2}\alpha^2t)$$

เป็น $\mathbb{F}$-martingale

ตอบเราทราบว่า $W_t \sim N(0,t)$จากการสร้างโมเมนต์ของการแจกแจงปกติ ($X \sim N(\mu,\sigma^2)$ แล้ว $M_X(\alpha) = \exp(\alpha\mu + \frac{1}{2}\sigma^2\alpha^2)$ ความสัมพันธ์ระหว่าง $W_t-W_s \sim N(0,s-t)$ กับฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์ของมันถูกกําหนดโดย

$$ \begin{align} M_{W_t-W_s}(\alpha) &= \mathbb{E}(\exp(\alpha(W_t-W_s))) \nonumber\\ &= \exp(\alpha\mu + \frac{1}{2}\sigma^2\alpha^2) & W_t - W_s \sim N(0,s-t) \nonumber\\ & = \exp(\alpha (\mathbb{E}(W_t) - \mathbb{E}(W_s)) + \frac{1}{2}(s-t)\alpha^2) & \mu = \mathbb{E}(x),\ \sigma^2 = s-t \nonumber\\ & = \exp(\frac{1}{2}(s-t)\alpha^2) & \mathbb{E}(W_t) = \mathbb{E}(W_s) = 0. \ (E3) \end{align} $$

อีกครั้ง เราพิจารณาค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของกระบวนการ $X_t^\alpha$,

$$ \begin{align*} \mathbb{E}[X_t^{\alpha}|\mathcal{F}_s] &= \mathbb{E}\left[\exp(\alpha W_t - \frac{1}{2}\alpha^2t)\Bigg|\mathcal{F}_s\right] &\text{Given information} \\ & = \mathbb{E}\left[\exp(\alpha(W_t - W_s) + \alpha W_s- \frac{1}{2}\alpha^2t) \Bigg|\mathcal{F}_s\right] & \text{Include and exclude rules} \\ & = \mathbb{E}\left[\exp(\alpha(W_t - W_s))\exp(\alpha W_s -\frac{1}{2}\alpha^2t) \Bigg|\mathcal{F}_s\right] &\text{Exponential function's property} \\ & = \exp(\alpha W_s -\frac{1}{2}\alpha^2t) \mathbb{E}\left[\exp(\alpha(W_t - W_s)) \Bigg|\mathcal{F}_s\right] &\text{$W_s$ is measurable with respect to $\mathcal{F}_s$} \\ & = \exp(\alpha W_s -\frac{1}{2}\alpha^2t) \mathbb{E}[\exp(\alpha(W_t - W_s))]&\text{$W_t - W_s \sim N(0,t-s)$ independent of $\mathcal{F}_s$}\\ & = \exp(\alpha W_s -\frac{1}{2}\alpha^2t)\exp(\frac{1}{2}(s-t)\alpha^2) &\text{Using MGF (E3)} \\ & = \exp(\alpha W_s - \frac{1}{2}\alpha^2s) &\text{Simplifying} \\ & = X_s^\alpha &\text{From Definition of $X_s^\alpha$} \end{align*} $$

ดังนั้น $X_t^\alpha$ เป็น $\mathbb{F}-$martingale สําหรับทุก $\alpha \ใน \mathbb{R}$\

คําถามที่ 2

กําหนดพหุนาม $H_n(x,y);\ n = 0,1,2,\dots$ โดย

$$H_n(x,y) = \frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} \exp(\alpha x - \frac{1}{2}\alpha^2y) \ \text{at} \ \alpha = 0$$

ตัวอย่างเช่น

$$H_0(x,y) = 1, \ H_(x,y) =x, \ H_2(x,y) = x^2-y, \ H_3(x,y) = x^3-3xy,\ H_4(x,y) = x^4-6x^2y+3y^3, \ \text{etc.}$$

สามารถแสดงได้ (โดยใช้ชุด Taylor) ว่า

$$X_t^\alpha = \exp(\alpha W_t - \frac{1}{2}\alpha^2t) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{n!}H_n(W_t,t)$$

ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่า $H_n(W_t,t)$ เป็นมาร์ติงเกลสําหรับแต่ละ $n$

คําถามที่ 2.1

ให้ $0 \leq s \leq t$ และ $\alpha \in \mathbb{R}$อธิบายว่าทําไมสําหรับแต่ละ$F \ใน \mathcal{F}_s$

$$\int_{F} X_t^\alpha d \mathbb{P} = \int_{F} X_s^\alpha d\mathbb{P}$$

ตอบข้อความนี้สามารถอธิบายได้ง่ายโดยนิยามของค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไข

$$\mathbb{E}(X|F) = \int_F X d\mathbb{P},$$

สําหรับ $F \ใน \mathcal{F}$เราใช้ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของกระบวนการ $X_t^\alpha$,

$$ X_s^\alpha = \mathbb{E}[(X_t^\alpha|F)]= \int_{F} X_s^\alpha d\mathbb{P} \ (E1.), $$

เนื่องจาก $\mathbb{F}$-martingale ของ $X_t^\alpha$ และนิยามของค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขเรายังทราบว่า $\mathbb{E}(X_t^\alpha) < \infty$จากนั้นเราพิจารณาอีกครั้ง $X_s^\alpha$,

$$ X_s^\alpha = \mathbb{E}[(X_s^\alpha|F)]= \int_{F} X_s^\alpha d\mathbb{P} \ (E2.), $$

เนื่องจาก $X_s$ เป็น $\mathcal{F}_s$-วัดได้ และเป็นนิยามของค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขการตั้งค่า $E 1 = E2$,

$$\int_{F} X_t^\alpha d \mathbb{P} = \int_{F} X_s^\alpha d\mathbb{P}$$

คําถามที่ 2.2

โดยการหาอนุพันธ์ (3a) ทั้งสองด้าน $n$ คูณกับ $\alpha$ และสลับอนุพันธ์กับอินทิกรัล (ไม่จําเป็นต้องอธิบายขั้นตอนนี้) แสดงว่า

$$\mathbb{E}(H_n(W_t,t)|\mathcal{F}_s) = H_n(W_s,s),$$

ตอบ

เมื่อพิจารณาอนุพันธ์เวลา $n$ ตาม $\alpha$ เราจะได้

$$ \begin{align*} \pdv[n]{}{\alpha}\int_{F} X_t^\alpha d \mathbb{P} &= \pdv[n]{}{\alpha}\int_{F} X_s^\alpha d\mathbb{P} &\text{From (3a)} \\ \int_{F} \pdv[n]{}{\alpha} X_t^\alpha d \mathbb{P} &=\int_{F} \pdv[n]{}{\alpha} X_s^\alpha d\mathbb{P} & \text{Interchange between} \\ && \text{derivative and integral} \\ \int_{F} \pdv[n]{}{\alpha}\exp(\alpha W_t - \frac{1}{2}\alpha^2t) d \mathbb{P} &=\int_{F} \pdv[n]{}{\alpha} \exp(\alpha W_s - \frac{1}{2}\alpha^2s) d \mathbb{P} &\text{Definition of $X_{\cdot}^\alpha$}\\ \int_{F} H_n(W_t,t) d \mathbb{P} &=\int_{F} H_n(W_s,s) d\mathbb{P} &\text{Definition of $H_n(x,y)$}\\ \mathbb{E}(H_n(W_t,t)|F) &= \mathbb{E}(H_n(W_s,s)|F) &\text{Definition of}\\ &&\text{the conditional expectation}\\ \mathbb{E}(H_n(W_t,t)|F) &= H_n(W_s,s) &\text{$W_s$ is $F$-measurable} \end{align*} $$

เนื่องจาก $F \ใน \mathcal{F}_s$,

$$ \mathbb{E}(H_n(W_t,t)|\mathcal{F}_s) = H_n(W_s,s) $$

คําถามที่ 2.3สรุปว่า $\{ H_n(W_t,t) : t \geq 0 \}$ เป็นมาร์ติงเกล

ตอบ

จากสมการ (\ref{4}) กระบวนการ $\{ H_n(W_t,t) : t \geq 0 \}$ เป็น $\mathcal{F}_s$-martingale