Numerical Integration | พศิน มรุปัณฑ์ธร | นักวิจัยเชิงปริมาณ

อัลกอริทึม 1/t ที่ใช้ความหนาแน่นสองสถานะสำหรับประมาณปริพันธ์หลายมิติ

Wed, 01 Nov 2017 00:00:00 +0000

ปัญหาที่งานวิจัยแก้ไข

ปริพันธ์หลายมิติที่มียอดแหลมมีบริเวณหายากซึ่งตัวเดินสุ่มเข้าถึงและออกจากบริเวณนั้นได้ยาก การแบ่งความหนาแน่นของสถานะแบบเดิมยังต้องใช้หลายช่วงและต้องทราบขอบเขตการอินทิเกรต ทำให้ใช้เวลาคำนวณสูงและเกิดการอิ่มตัวของความคลาดเคลื่อน

ผู้ได้รับประโยชน์:

นักฟิสิกส์เชิงคำนวณ
นักวิจัยด้านการอินทิเกรตเชิงตัวเลข
นักวิทยาศาสตร์ที่วิเคราะห์ฟังก์ชันหลายมิติซึ่งมียอดแหลม
ผู้พัฒนาการจำลองที่ต้องการลดต้นทุนมอนติคาร์โล

วิธีการ

หลังสุ่มตัวอย่างเบื้องต้นจำนวนเล็กน้อย วิธีนี้เลือกเกณฑ์ y_s ที่เข้าถึงได้ในบริเวณที่มีความหนาแน่นสูง แล้วแบ่งปริภูมิ y เป็นเพียงสองสถานะ คือ y < y_s และ y >= y_s จากนั้นใช้การเดินสุ่ม 1/t ตามปกติระหว่างสองสถานะ พร้อมปรับค่าเฉลี่ยภายในสถานะ จึงไม่ต้องแบ่งช่วงคงที่ละเอียดหรือกำหนด y_min และ y_max งานวิจัยทดสอบปริพันธ์เกาส์เซียนหลายตัวแปรตั้งแต่หนึ่งถึงหกมิติ ปริพันธ์วงแหวนเกาส์เซียนตั้งแต่สองถึงหกมิติ และปริพันธ์แผนภาพไฟน์แมนแบบ setting-sun ด้วยการจำลองอิสระ 50 ครั้งและ N_final = 10^8

ผลการศึกษา

วิธีสองสถานะให้ค่าที่แม่นยำในการทดสอบเกาส์เซียนทุกกรณีถึงหกมิติ โดยได้ 0.9995586 สำหรับเกาส์เซียน 6D และ 0.9992425 สำหรับวงแหวนเกาส์เซียน 6D ขณะที่วิธี 1/t แบบหลายช่วงเยี่ยมไม่ครบทุกสถานะในการทดสอบเกาส์เซียน 5D และ 6D ภายใน 10^8 การทดลอง สำหรับตัวอย่าง setting-sun ค่าประมาณ 1.594486 x 10^9 ใกล้เคียงกับวิธีควอดราเจอร์แบบปรับตัวที่ 1.596160 x 10^9 แต่มอนติคาร์โลพื้นฐานให้เพียง 4.041376 x 10^7 ความคลาดเคลื่อนลดลงตามอัตรา N^(-1/2) โดยไม่เกิดการอิ่มตัว

การขจัดผลกระทบจากความกว้างของช่วงของอัลกอริทึม 1/t สำหรับการอินทิเกรตเชิงตัวเลขหลายมิติ

Wed, 01 Jun 2016 00:00:00 +0000

ปัญหาที่งานวิจัยแก้ไข

อัลกอริทึมมอนติคาร์โล 1/t แบบเดิมอาจหยุดพัฒนา เพราะใช้ค่าคงที่เพียงค่าเดียวแทนทุกจุดภายในช่วงของฮิสโตแกรม ผลจากความกว้างของช่วงนี้ก่อให้เกิดความคลาดเคลื่อนที่คงอยู่และทำให้การอินทิเกรตหลายมิติไม่ลู่เข้าอย่างน่าเชื่อถือ

ผู้ได้รับประโยชน์:

นักวิเคราะห์เชิงตัวเลข
นักฟิสิกส์เชิงคำนวณและวิศวกร
นักวิจัยที่ใช้การอินทิเกรตแบบมอนติคาร์โล
ผู้พัฒนาซอฟต์แวร์จำลองหลายมิติ

วิธีการ

วิธีที่เสนอแทนจุดกึ่งกลางคงที่ของแต่ละช่วงด้วยค่าเฉลี่ยสะสมของค่า y ที่สุ่มได้ภายในช่วงนั้น และปรับค่าเฉลี่ยระหว่างการจำลอง 1/t ทำให้ค่าปริพันธ์ดีขึ้นตามจำนวนตัวอย่างมอนติคาร์โล งานวิจัยแยกองค์ประกอบความคลาดเคลื่อนเพื่อพิสูจน์ว่าวิธีเดิมมีเศษคงเหลือจากความกว้างของช่วง แต่ความคลาดเคลื่อนของวิธีใหม่ลู่เข้าสู่ศูนย์ด้วยอัตรา N^(-1/2) จากนั้นทดสอบกรณีที่ทราบค่าจริงตั้งแต่หนึ่งถึงหกมิติ ด้วยการจำลองอิสระ 50 ครั้งและหลายค่าความกว้างของช่วง

ผลการศึกษา

ค่าประมาณจากวิธีใหม่ลู่เข้าสู่ค่าปริพันธ์จริงโดยไม่เกิดการอิ่มตัวของความคลาดเคลื่อน แม้ใช้ช่วงที่ค่อนข้างกว้าง ในการทดสอบหนึ่งมิติที่ dy = 0.1 ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ต่ำกว่าวิธี 1/t เดิม 77.51 เท่า และในการทดสอบสามมิติที่ dy = 1 ต่ำกว่าประมาณ 89,732 เท่า ความคลาดเคลื่อนยังคงลดลงตามอัตรา N^(-1/2) จึงสามารถใช้ช่วงที่กว้างขึ้นและลดเวลาคำนวณได้มาก

วิธี 1/t ที่ปรับปรุงแล้วสำหรับการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขของฟังก์ชันที่คำนวณได้ยาก

Thu, 20 Mar 2014 00:00:00 +0000

ปัญหาที่งานวิจัยแก้ไข

การสุ่มมอนติคาร์โลทั่วไปอาจไม่พบพื้นที่แคบที่ฟังก์ชันมียอดสูงมาก จึงประเมินปริพันธ์ที่คำนวณยากต่ำกว่าความเป็นจริงอย่างมาก แม้อัลกอริทึม 1/t แบบเดิมสำรวจพื้นที่ดังกล่าวได้ดีขึ้น แต่การใช้ค่าคงที่แทนแต่ละช่วงทำให้เกิดความคลาดเคลื่อนจากความกว้างช่วงและเกิดภาวะความคลาดเคลื่อนอิ่มตัว

ผู้ได้รับประโยชน์:

นักวิทยาศาสตร์เชิงคำนวณที่ประเมินปริพันธ์หลายมิติซึ่งคำนวณได้ยาก
นักวิจัยด้านมอนติคาร์โลและความหนาแน่นของสถานะ
นักคณิตศาสตร์ประยุกต์ที่ศึกษาการลู่เข้าเชิงตัวเลข
นักวิเคราะห์ฟิสิกส์และวิศวกรรมที่ทำงานกับฟังก์ชันยอดแหลม

วิธีการ

ตัวประมาณที่เสนอคงการเดินสุ่มแบบ 1/t ไว้เพื่อประมาณความหนาแน่นของสถานะ g(y) แต่แทนค่าคงที่ประจำแต่ละช่วงในปริภูมิ y ด้วยค่าเฉลี่ยของค่าฟังก์ชันที่สุ่มพบจริงภายในช่วงนั้นและปรับค่าอย่างต่อเนื่อง ค่าปริพันธ์จึงประมาณจากผลรวมของ g(y) คูณค่าเฉลี่ยภายในช่วง งานวิจัยทดสอบกับปริพันธ์เกาส์เซียนยอดแหลมหนึ่ง สอง และสามมิติ โดยกำหนดค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับรากที่สองของ 0.4 และโดเมน [-10, 10] ในแต่ละมิติ จากนั้นเปรียบเทียบการสุ่มอย่างง่าย อัลกอริทึม 1/t แบบเดิม และวิธีที่เสนอภายใต้ความกว้างช่วงสี่ระดับ การทดลอง 10^10 ครั้งต่อรอบ และการจำลองอิสระ 50 ชุด โดยใช้ค่าปริพันธ์จริงและความคลาดเคลื่อนเชิงสัดส่วน

ผลการศึกษา

การสุ่มอย่างง่ายประเมินปริพันธ์ยอดแหลมต่ำกว่าความเป็นจริงอย่างมาก ขณะที่ค่าประมาณจาก 1/t แบบเดิมยังไวต่อความกว้างช่วงและเกิดภาวะความคลาดเคลื่อนอิ่มตัว เมื่อใช้ความกว้างช่วง 0.0005 วิธีที่เสนอให้ค่าประมาณกรณีหนึ่ง สอง และสามมิติเท่ากับ 1.585321, 2.513090 และ 3.984088 ซึ่งใกล้ค่าจริง 1.585331, 2.513274 และ 3.984371 ตามลำดับ ความคลาดเคลื่อนลดลงโดยประมาณตาม N^-1/2 โดยไม่อิ่มตัว และเมื่อความแม่นยำไม่ถูกกำหนดด้วยความกว้างช่วงแล้ว จึงใช้ช่วงที่กว้างเพื่อเข้าถึงทุกสถานะได้เร็วขึ้นและลดภาระการคำนวณ